Appunti di probabilità per Sociologia

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Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di modelli matematici per le scienze sociali

Calcolo combinatorio

Definizione

Si dice disposizione semplice di n oggetti di classe k (con k ≤ n) ogni allineamento di k oggetti scelti fra gli n. Due allineamenti si distinguono per l’ordine con cui sono disposti gli elementi o per avere almeno un oggetto diverso.

Esempio

Alcune disposizioni semplici di classe 4 delle lettere dell’alfabeto:

a, c, f, h; a, f, c, h sono due disposizioni che si differiscono per l’ordine.

a, n, m, r; a, b, n, p differiscono per due elementi.

Proposizione

Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k è

D_n,k = n · (n − 1) · (n − 2) · ... · (n − k + 1).

Esempio

Quante bandiere di tre colori si possono formare con 5 colori?

D_5,3 = 5 · 4 · 3 = 60.

Definizione

Si dice combinazione semplice di n oggetti di classe k (con k ≤ n) ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra gli n, indipendentemente dall’ordine con cui vengono presi.

Esempio

Alcune combinazioni semplici di classe 5 delle 21 lettere dell’alfabeto:

a, e, i, o, u; e, f, g, h, i; a, b, c, d, e; l, m, o, q, t.

Proposizione

Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k è

C_n,k = D_n,k / k! = [n · (n − 1) · (n − 2) · ... · (n − k + 1)] / [k · (k − 1) · (k − 2) · ... · 3 · 2 · 1]

= ⁿC_k.

Esempi

Un barman ha a disposizione 4 liquori di base; quanti cocktail può ottenere mescolandone 3 alla volta?

C_4,3 = D_4,3 / 3! = (4 · 3 · 2) / (3 · 2 · 1) = 4.

Quante cinquine si possono fare a tombola?

C_90,5 = 43.949.268.

Un’assemblea di genitori decide di costituire una commissione di 3 persone che controlli la qualità della mensa scolastica. Per farne parte si candidano 10 genitori. Se una commissione dura in carica una settimana, per quante settimane si possono avere commissioni diverse? (Due commissioni sono diverse se differiscono per almeno un membro).

¹⁰C₃ = 120.

A. Bernardo. Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di. 30/12/2005.

Modelli matematici per le scienze sociali 2.

Definizione

Si dice disposizione con ripetizione di classe k ogni allineamento di k oggetti scelti fra gli n dati, in modo che uno stesso oggetto possa essere ripetuto più volte.

Esempio

Alcune delle parole di 5 lettere che si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto:

aaaaa; ababa; amore; cuore.

Proposizione

Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k è

D’_n,k = n^k.

Esempio

D’_21,5 = 21⁵.

Tutte le parole di 5 lettere che si possono formare con le 21 lettere sono 21⁵.

Definizione

Si dice combinazione con ripetizione di classe k ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra gli n dati, in modo che uno stesso oggetto si possa essere preso più volte.

Proposizione

Il numero delle combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è dato da

C’_n,k = ^{n + k − 1}C_k.

Definizione

Si dicono permutazioni di n elementi tutti i possibili allineamenti che si possono ottenere scambiando di posto gli n oggetti. Esse coincidono con le disposizioni semplici di n elementi di classe n.

P_n = D_n,n = n!.

Proposizione

Il numero di permutazioni di n oggetti di cui h sono uguali fra loro, k sono uguali fra loro e distinti dai precedenti è

P*_n,h,k = n! / (h! · k!).

Esempio

Quanti anagrammi si possono formare con la parola MATEMATICA?