Somme di Riemann

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Integrazione

Somme di Riemann

Per calcolare l'area della superficie compresa tra l'asse x e il grafico di una funzione non negativa f(x) in

un intervallo [a, b], definiamo una partizione di [a, b] scegliendo n–1 punti x1, x2, . . ., xn–1 in [a, b],

ponendo a = x0 < x1 < . . . < xn–1 < b = xn. Su ciascun subintervallo [xk–1 , xk] costruiamo un rettangolo

Δxk

di base = xk – xk–1 di altezza f(xk–1 ). La base superiore di ciascun rettangolo deve toccare la curva

in un punto (ck, f(ck)).

Sommando le aree di tutti i rettangoli, otteniamo un valore approssimato dell'area compresa tra l'asse x e

la curva di equazione y=f(x).

La somma

n Δx .

S f c

k k

k =1

è chiamata per f nell'intervallo [a, b].

somma di Riemann

Troviamo una somma di Riemann per la funzione f(r) = 1/r nell'intervallo [1, 10].

Funzione:

1

f r r

Estremi dell'intervallo:

a 1

b 10 1

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Numero di rettangoli:

n 12

Partizione:

k 1 .. n

x rnd b a a

k

x a

0

x b

n

x sort x

Δ x x

k k k 1

Scegliamo un punto in ciascun subintervallo.

Δ

c rnd x

k k k 1

Calcoliamo questa somma di .

Riemann

n Δ .

S f c

k k

k =1

S = 2.288

1

0.5 0 2 4 6 8 10

f(r)

Intersezione del rettangolo con f(r)

Rettangoli somma di Riemann, piuttosto che somma di Riemann. La

Nota che diciamo di aver calcolato una la

somma dipende dalla partizione e dalla scelta dei punti ck in cui si valuta f(r).

Come ci si può aspettare, aumentando il numero dei rettangoli in una somma di Riemann si ottiene un

valore approssimato con maggior precisione dell'area. Comunque, questo è vero solo se l'ampiezza del

rettangolo più largo della partizione, chiamata della partizione, diventa minore.

norma

è:

Nel precedente esempio, la norma

Δ

max = 2.112 2

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g x sin x e l'asse x tra gli estremi x = 0 e x = 5.

Stima l'area tra la curva π π

La funzione f(x) è sempre non negativa tra x = 0 e x = . ed &