Sommatoria

Somma (o sommatoria)

"Da somma per k che va da m a n di a_k"

Indice della somma: k=m

Termine generico: a_k

Esempio di sommatoria

Ad esempio: ∑_k=1⁵ (2k-1) = 1+3+5+7+9

Ossia la somma dei primi cinque numeri dispari.

∑_k=α^m a_k m≥n

k ∈ {n, n+1, n+2, ..., m-1, m}

a_n + a_n+1 + a_n+2 + ... + a_m Se m≥n

Sommatoria su insieme vuoto

Esempio: ∑_k=5³ (2k+1) = ∑_k=0 (2k+1)

k: 5 ≤ k ≤ 3 = Ø

La sommatoria il cui indice varia su un insieme vuoto, qualsiasi valore assuma è 0

Scrittura delle somme

Le somme possono essere scritte così: ∑_k∈K a_k

In particolare ∑_k∈I^m a_k = ∑_{k∈{i1,...,ik}} a_k

Ad esempio: a₇ + a₁₁ + a₁₉ + a₂₃

Può essere scritta come: ∑_{k∈{primo con 7≤k≤23}} a_k oppure ∑_{k∈{7,11,...,23}}k primo

Sommatoria (o somma)

"La somma per k che va da m a n di a_k"

Ad esempio: ∑_k=1⁵ (2k-1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Ossia la somma dei primi cinque numeri dispari.

∑_k=α^m a_k m ≥ mk ∈ {m, m+1, m+2, ..., m-1, m}

a_m + a_m+1 + a_m+2 + ... + a_m Se m

Esempio su insieme vuoto

Esempio: ∑_k=5³ (2k+1) = ∑_k∈∅ (2k+1)

{k: 5 ≤ k ≤ 3} = ∅

La sommatoria il cui indice varia su un insieme vuoto, qualsiasi valore assuma è 0

Le somme possono essere scritte così: ∑_k∈K a_k

In particolare ∑_k=α^m a_k = ∑_{k∈{k1,...,kr}} a_k

Ad esempio: a₇ + a₁₁ + a₁₉ + a₂₃

Può essere scritta come: ∑_{k∈{primo con 7 ≤ k ≤ 23}} a_k

Oppure ∑_{k∈{7, 11, ..., 23}x primo} a_k

Sommatorie

∑_k∈K a_k

Ad esempio se K = {0, ..., 10} a = 2^k

∑_k∈K a_k = ∑_k=0¹⁰ 2^k = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2¹⁰

3x + 3y + 3z = 3 (x + y + z)

∑_k∈K c a_k = c ∑_k∈K a_k

c ∈ R "Posso portare la costante c fuori dalla somma"

Legge associativa

Legge associativa

∑_k∈K a_k + ∑_k∈K b_k = ∑_k∈K c_k

Lo stesso insieme su cui lavorano (K)

Ad esempio: se a_k := 2^k b_k := 5

∑_k∈K 2^k + ∑_k∈K 5 = ∑_k∈K (2^k + 5)

Se b_k = 5 verrebbe interpretato

∑_k∈K 2^k + ∑_k∈K 5 = (∑_k∈K 2^k) + 5

Suddivisione degli insiemi

Supponiamo di avere _i=1^Na_i = _i=1^ma_i + _i=m+1^Na_i

Sia m ∈ {1, …, N}

In generale se A ⊆ K, B ⊆ K allora

A ∪ B = K

A ∩ B = ∅

_i∈K a_i = _i∈A a_i + _i∈B a_i

Se, invece, A ∩ B ≠ 0?

_i∈K a_i = _i∈A a_i + _i∈B a_i - _i∈A∩B a_i

Cambio di indici

Definiamo una funzione biettiva di ℤ in ℤ si dice una permutazione degli interi

Sia π: ℤ → ℤ una permutazione, allora

_k∈K a_k = _π(k)∈K a_π(k)

Esempi di permutazione

Esempio: p: m ⟶ m+5 è una permutazione degli interi, perché ogni intero è immagine di un altro (BIETTIVA)

_{10 ≤ k ≤ 20}∑ a_k = _{10 ≤ k+5 ≤ 20}∑ a_k+5 = _{5 ≤ k ≤ 15}∑ a_k+5

Ho riscritto la prima sommatoria con una nuova dove l’indice è indicizzato

p: m ⟶ 2 - m

_{10 ≤ k ≤ 20}∑ a_k = _{10 ≤ 2 - k ≤ 20}∑ a_{2 - k} = _{8 ≤ k ≤ 18}∑ a_{2 - k} = _{-18 ≤ k ≤ -8}∑ a_{2 - k}

Calcolo di una somma

Esempio: calcolare S = _{0 ≤ k ≤ m}∑ (a + bk^r) con a_i, b ∈ ℝ

1) Rimpiazziamo k con m - k

_{0 ≤ m - k ≤ m}∑ (a + b (m - k))

_{0 ≤ k ≤ m}∑ a + bm - bk

2S = _{0 ≤ k ≤ m}∑ (a + bk + a + bm - bk)

2S = _{0 ≤ k ≤ m}∑ (2a + bm) non dipende da k

2s = (2a + bm) _{0 ≤ k ≤ m} ∑₁ = (2a + bm)(m + 1)

S = (2a + bm)(m + 1) / 2

Somme multiple

a_ij = 3i - 4j   a_ijk = i (j - k)

∑⁵_{i = 1} ∑³_{j = 1} a_ij = a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₂₁ + a₂₂ + a₂₃ + ...   + a₅₁ + a₅₂ + a₅₃ ...

¹/₂ - addendi

∑²ⁱ_i=1 ∑_{j = 1} (3i - 4j) = ?

a₁₁ + a₁₂ + a₂₁ + a₂₂ + ...

∑¹⁰_i=1 ∑¹⁵_{j = i+1} ∑_{k ≥ j} ∑_{k < 3i} a_ijk

∑_i∈I ∑_j∈S(i) ∑_k∈K(i,j) ... a_i,j,k...

Calcolo con indici indipendenti

∑_i=1⁵ ∑_j=1³ (3i - 4j) =

Osserviamo che l'indice j non dipende da i

= ∑_i=1⁵ (3i ∑_j=1³ 1 + ∑_j=1³ -4j)

= ∑_i=1⁵ (3i ∑_j=1³ 1 - 4 ∑_j=1³ j)

= ∑_i=1⁵ (9i - 24) = ∑_i=1⁵ 9i + ∑_i=1⁵ -24

= 9 ∑_i=1⁵ i - 24 ∑_i=1⁵ 1 = 135 - 120 = 15

∑_j=1³ ∑_i=1⁵ (3i - 4j) =

= ∑_j=1³ (3 ∑_i=1⁵ i - 4 ∑_i=1⁵ j)

= ∑_j=1³ (45 - 20) = 45 ∑_i=1³ 1 - 20 ∑_i=1³ j

= 135 - 120 = 15

Tutte le volte che gli indici hanno un loro insieme di validità con indici che non dipendono da altri indici → posso scambiarli e il risultato non cambia.

Cambio indici

_i=3 ¹² ∑ _j=2 ⁴ ∑ (3i + 2j) = _j=2 ⁴ ∑ _i=3 ¹² ∑ (3i + 2j)

Invece _i=1 ¹⁰ ∑ _j=20-i ³⁰ ∑ (3i + 2j) => _j=20-i ³⁰ ∑ _i=1 ¹⁰ ∑ (3i + 2j)

j non può assumere il valore iniziale se non è quantificato

_j∈J(i) ∑ _i∈I ∑ a_ij

Sia J = ⋃_i∈I J(i) al variare di i l'insieme degli indici j cambia

∀_j∈J definiamo I(j) = {i : j∈J(i)}

Diventa _i∈I(j) ∑ _j∈J ∑ a_ij

Matrice degli indici

m colonne

a₁₁ a₁₂ ... a_1m

a₂₁ a₂₂ ... a_2m

... ...

a_m1 a_m2 ... a_mm

m righe