Sistemi dinamici, movimenti e equilibri

Sistemi dinamici a tempo continuo

Definisce relazione matematica tra cause e effetti; oggetto che interagisce con mondo con cause modello matematico x descrivere comportamento.

A tempo continuo le cause sono grandezze nel tempo, continue. Definisco tutto il tempo. "Discreto" = segnali campionati ogni secondo.

Dinamico → u₁(b) non dipende solo da u₁(t) ma anche dai valori passati di u₁ e u₂. Non basta sapere u₁(t) e sapere y₁(t).

Mi serve sapere la storia passata dei segnali.

Ingresso/uscite

Azioni compiute sul sistema da agenti esterni descrivono la risposta del sistema agli stimoli.

Esempio

i(t) v(b) i(t) V(t) h(t)

V(t) = f·i(t)

V(t) = e·i(t)

dN/dt = W_in(t) - W_out(t)

M(t) = ρAh(t)

dh(t)/dt = 1/ρA [W_in(t) - W_out(t)]

h(t) - h(t-σ) = f(x)

W_in W_out h(t) h(t-σ) 1/ρA [W_in, W_out]

É dinamico dipende da che valore di h parte. Serve conoscere livelli iniziali scattato.

Se é descritto da eq.diff. é dinamico.

L'uscita non dipende solo dall'ingresso ma anche dal passato di ingresso o uscita.

Sistemi dinamici a tempo continuo

Definire relazione matematica tra cause e effetti; oggetto che interagisce con mondo esterno. Il modello matematico descrive comportamento a tempo continuo le cause sono grandezze nel tempo continuo. Definisco tutto il tempo "discreto" segnali campionati ogni secondo.

Dinamico s₁(b) non dipende solo da s_u(t₁) ma anche valori passati di s_u e di s₁ non basta sapere u(t₁) e sapere y(t₁).

Serve sapere la storia passata dei segnali. Azioni compiute sul sistema da agenti esterni descrivono la risposta del sistema agli stimoli.

Esempio

i(t) v(t)

NO è statico l'ingresso definisce l'uscita senza altra variabile. Basta conoscere i(t) x determinare UNICAMENTE v(t).

V(t) = f ・ I(t)

d_M = W_in(t) - W_out(t)

M(t) = ρ_Ah(t_s)

d_h(t)dt= 1/_ρA [W_in(t) - W_out(t)]

Se è descritto da eq.diff. è dinamico.

L'uscita non dipende solo dall'ingresso ma anche del passato di ingresso o uscita.

Sistemi dinamici

Bisogna conoscere + che le condizioni iniziali serve memoria, sapere stato sistema nel ± t₀ in cui si applica ingresso.

Variabile di stato

Variabili interne del sistema la cui conoscenza a t₀ costituisce la minima informazione necessaria a determinare y(t) t ≥ t₀.

x(t) = [ x₁(t) x₂(t) ... x_n(t) ] vettore di stato, contiene variabile di stato.

u(t), t ≥ t₀ ------> y(t) t ≥ t₀ x(t0)

Riprendo esempio

W_in(t)...................................... portata in ingresso

h(t)..............livello

W_out(t) = k h(t)............... portata in uscita

V(t) = A h(t).....................area di base

Conservazione volume

dV(t) / dt = W_in(t) - W_out(t)

A dh(t)/dt = W_in(t) - W_out(t) eq. diff. 1_o ordine lineare

u(t) ingresso - CAUSA

h(t) - x(t) stato

y(t) = k x(t) - EFFETTO uscita

A h(t) = W_in - W_out

{ A x(t) = u(t) - k x(t)........ eq. diff. y(t) = k x(t) ............eq. di uscita eq. di uscita

2) Bilancio forze

A) Bilancio Forze (non lo facciamo noi)   Nẏ_t(t) = F(t) - ky(t) - hẏ(t)

F(t) = u(t) ingresso, causa

y₁(t) = x₁(t)   stato

y₂(t) = x₂(t)

y(t) = uscita, effetto

x₁(t) = ẏ(t) = x₂(t)

x₂(t) = ẍ(t) = F(t)/M - ky(t)/M - hẏ(t)/M = ₁/_M (u(t) - kx₁(t) - hx₂(t))

y(t) - x₁(t) → eq. uscita

3) Coppia attrito viscoso

C_a(t) = coppia attrito viscoso → C_a(t) = h θ̇(t)

p(t) = coppia motrice

Momento di Inerzia J = Mℓ²

Bilancio coppie → J θ̈(t) = C(t) - Mℓ sin θ(t) - C_a(t)

μ θ̈(t) = -Mℓ sin θ(t) + hθ̇(t) + C(t)

C(t) = u(t) → ingresso

θ(t) → y(t) uscite

1. Scrivo -u(t) X₁ / X₂ y(t)
2. Scrivo ẋ₁ ẋ₂ y(t) =
3. So sostitui ̧so con dati eq.2 eq. dif. 1^o ordine NON LINEARI

Sist. dinamico in “rappresentazione di stato”

ẋ(t) = f(x(t), u(t))

y(t) = C(x(t), u(t))

x(t) = x₀

x ∈ Rⁿ → n = ordine sistema

u ∈ R y ∈ R

SISO = single input single output ingresso e uscita SCALARI

Caso generale

u ∈ Rᵐ y ∈ Rᵖ

MIMO = multiple input multiple output

m > 1, p = 1 → MISO uscita scalare

m = 1, p > 1 → SIMO “ingresso scalare”

Tipi di sistemi

Strettamente proprio

ẋ(t) = f(x(t), u(t))

y(t) = C(x(t))

Non c’è dipendenza esplicita da u(t).

Altrimenti si dice PROPRIO.

y(t) = … u

Se f e C sono funzioni lineari → sistema lineare.

Funzione polinomiale di grado 0 o 1.

Altrimenti non lineari.

Sistema tempo-variabile → compare esplicitamente t.

ẋ(t) = f(x(t), u(t), t)

y(t) = C(x(t), u(t), t)

Altrimenti tempo INVARIANTE → in questo caso (stazionari).

Esempio

ẋ(t) = -3x(t) + u(t)

y(t) = 2x(t)

Guardo n° ingressi (1) = u uscite 1 = y → SISO strettamente proprio.

y(t) = 2u(t)

Lineare, tempo invariante.

x'(t) = 3 x(t) + sin(t) ⋅ u(t)

y(t) = 2 x(t)

Centrato.

x'(t) = - 3 x(t) +

y(t) = 2 x(t) −

Scelta variabili di stato

Rappresentabile di stato univoca.

Come ricavare equazioni che diventerà.

ESEMPIO

x₁(t) = y(t)

x₂(t) = ∂y/∂t

x₃(t) = ∂²y/∂t²

x_n(t) = ∂^n-1y/∂^n-1t

ẋ_n(t) = Ɛ (x_n, x_n-1, ..., x₁, μ)

Criterio

x trovate formula

1. Scegli
2. Scrivi

x₁ = y

x₂ = ẏ

x₃ = ÿ

E sostituisco in eq. data e ẋ₃ = ÿ rincopio eq. data sostituendo y/ẏ f (x, μ) ottengo n eq. diff.

y( x, μ) = x₁

Criterio matematico

esÿ(t) = √x₁

y(t) ẏ(t) + 5 μ(t) /(1 + ẏ(t)²)

Va scritto nella Forma { ẋ(t) = Ƒ (x(t), μ(t)) y(t) = ᵧ (x(t), μ(t))

Quanto sono le x ? 3 = ordine 3

1. X₁ =
2. X₂ =
3. X₃ =

x₁ = y(t)

x₂ = ẏ(t)

x₃ = ÿ(t)

{ x(t) = x₂(t) x₂(t) = x₃(t) ẋ₃(t) = rincopio le forma data sostituendo = √2x₁(t)x₂(t) + 5μ(t) /(1 + x₃(t)²)

y(t) = x₁(t)

Criterio fisico

Variabili di stato.

Sist. elettrici.

Sist. meccanici.

Sist. termici.

Sist. idraulici.

La scelta delle variabili non è UNIVOCA!

Esempio sospensioni

M_z(t) = -c(t) (ẋ_z(t) - ż_z(t)) + K (z_z(t) - ż_z(t) - Δs) - M_C

m_zż_z(t) = c(t) (ẋ(t) - ż_z(t)) - K (z_z(t) - ż_z(t) - Δs) - m_g

1° modello

x =zẋżż_z

u(t) = [z_r c]

y(t) = z_(t)

SISO, 4° ordine, non lineare perchè moltiplico stato * ingresso tempo invariante.

Ora lo modello in un altro modo.

2° modello

x =zẋżż

u(t) = z_r

y(t) = z(t)

SISO, 4° ordine, lineare, tempo variante perchè c(t) non è più un segnale in, è un parametro.

2 modelli ≠ per lo stesso sistema.

Riassunto...

Dalla realtà:

1. Modello = equazione differenziale scelte legate a applicazione modello (approssimazioni)

Non lo scegliamo noi il modello.

^{((dy/dt)(m)) = f(...)} (lo trasformo in una rapp. di stato) modello di stato { ^{x = f(x,_μ) y = g(x,_μ)} }

(Scelta di _μ, y, x, ma è solo una riscrizione, non un'approssimazione)

2. Trasformo modello dato in modello in forma di stato

_μ → | → y

w definisce il comportamento desiderato di y prendendo un controllo: o misura la y, e la corregge, usato o disturbo di Va → inserito un sensore.

Il progetto di C si basa sul modello di P devo sapere relazione matematica tra _μ e y e le sue caratteristiche.

Quindi mi concentro su _μ → | _P |→ y relazione tra _μ e y è una equazione differenziale ordinaria (ode).

Es.: ^{(dy(m))/dt = y (dy(m-1), ..., dy_μ,_μ)}

La riscrivo come rappresentazione di stato con n eq. differenziali di ordine 1.

eq. diff. di ordine 1

x(t) = F(x(t), u(t))

y(t) = Q(x(t), u(t))

Algebra

Analisi sistemi → calcolo movimenti sistemi dinamici.

x(t) = F(x(t), u(t))

y(t) = Q(x(t), u(t))

Dato l'ingresso u(t) t ≥ t₀

Quanto vale x(t), y(t) per t > t₀ ?

x(t₀) = x₀ stato iniziale

x(t) t ≥ t₀ movimento dello stato

y(t) t ≥ t₀ movimento dell'uscita

Devo integrare il sistema per trovare x(t).

Trovare y(t) basta che sostituisco x(t) e u(t).

Esempio

u(t) = portata volumetrica in ingresso

x(t) = livello

y(t) = k x(t) → portata volumetrica in uscita

Modello

x(t) = -¹/_A k x(t) + 1/_A u(t)

y(t) = - k x(t)

Scelgo A/k = 1m²/1 m³/s

x(t) = - x(t) + u(t)

y(t) = x(t)

Per studiare movimento dell'uscita mi serve l’ingresso u(t).

Assegnato

Dato μ(t)=2      ∀t≥0       x(0)=5

Ricordo ∫₀^t     d/dt ( e^x(t) ) dt = [ e^x(t)x(t) ]₀^t  ≈ e^x(t) - x(0)

Devo integrare.

x⁠'(t) = -x(t) + μ(t) › x⁠'(t) = -x(t) + 2

Moltiplico per e^t › e^tx⁠'(t) = -e^tx(t) + 2 e^t

Integrale › e^tx(t) - e^tx(t) = 2 e^t › e^t (          ) = -2e^-t › d/dt [  ] = 2 e^t › d/dt [  ] = e^-t › e^tx⁠'(t) = 2 e^tx⁠'(t)

Obiettivo = esplicitare x(t) › c t (x(t) - x(0) + ∫0^t 2 e^tdt) › d/dt (           ) › x(t)=x(0) + 2 e^t › e^t = x(t) - 2

Posto x(0) = 5 › x(t) = 5 e^t + t 2e = -5e^-t + 2e^-t (e - 2) › › 5e^t t 2e^t › › -5e^-t + 2e^-t [e - 0] = 5e^t + 2 - t

Movimento dello stato x(t) = 3e^-t + 2t ≥ 0

Movimento dell'uscita y(t) = Kx(t)

K = 1

y(t) = 3e^-t + 2t ≥ 0

x(0) = 5

Andamento esponenziale decrescente.

(Movimenti di) equilibrio

x(t) = F (x(t), u(t))

y(t) = C (x(t), u(t))

x(t_o) = x^- = costante stato iniziale

u(t) = μ^- t ≥ t_o ingresso costante

Stato di equilibrio x(t) = x^- costante nel tempo in corrispondenza di u(t) = μ^-.

Se metto un ingresso costante e rimane nello stato iniziale x^- c'è equilibrio.

Uscita di equilibrio se y(t) = y^- costante nel tempo in corrispondenza di u(t) = μ.

eq. elettrica

x_o = f(x^-, μ^-) = 0

Condizioni di equilibrio

x(t)=x̄

y(t)=ȳ

ẋ(t)=0

F(x, μ)=0

ȳ=c(x̄, μ̄)

Esempio 1)

ẋ(t)=-2x(t)+3u(t) y(t)=2x(t)-u(t)

Calcolare x̄, ȳ in corrispondenza di u(t)=ū t≥0 ū=2 x̄ incognita, stesse c.s.

So che x̄=0 importante!

F(x̄, ū)=0 con questa funzione alle dell'equazione di stato -2x̄+3ū=0 -2x̄+6=0

x̄=3 t≥0

Uscita di eq ȳ? Sostituisco x̄ e ū in y(t)=...

ȳ=2x̄-ū=4 t≥0

Esempio 2)

ẋ₁(t)=x₂(t)

ẋ₂(t)=-a/l * x₁(t) + u(t)/Ml² y(t)=x₁(t)Ө(t)=x₁(t)

Calcolo equilibrio dato μ(t) = ū t ≥ 0 → ẋ = 0 equilibrio

F(&xmacr;,ū) = 0 → ẋ₂ = 0

Velocità nulla.

x₃ = 0

Se ẋ₂ = 0 → &dfrac{-ℓ}{ρ} sin(x₁) h&dfrac{μc² + ū}{Mℓ}

sin(x₁) = &dfrac{ℓ}{c²} &dfrac{ū}{Mℓ} = &dfrac{-μ}{Mℓc}

x₁ = arcsin( &dfrac{ū}{Mℓc})

1^o caso   ū = 0     x₁ = 0 = arcsin 0     x₂ = 0     ẏ = 0     γ = 0

2^o caso   ū = Mℓc     x₁ = arcsin 1 = π/2     x₂ = 0     ẏ = &dfrac{π}{2}

Pendolo con massa in basso.

Sist. dinamica a tempo continuo

ẋ = f(x, μ, t)

ẏ = g(x, μ, t)

Notazione matriciale per il caso SSD

x(t) = f(x(t), μ(t))

y(t) = g(x(t), μ(t))

Sist. LTI (dinamici lineari tempo invarianti)

{x'₁(t) = a₁₁ x₁(t) + a₁₂ x₂(t) + ... + a_1n x_n(t) + b₁ μ(t)

x'₂(t) = a₂₁ γ₂(t) + a₂₂ γ₂(t) + ... + a_2n x_n(t) + b₂ μ(t)

ẏ(t) = c₁ x₁(t) + c₂ x₂(t) + ... + c_n x_n(t) + d μ(t)

Sono fun. lineari