Sistemi di numerazione

Formulario di matematica

G. Sammito, A. Bernardo, Sistemi di numerazione

F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi

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10. Sistemi di numerazione

Definizioni

Un sistema di numerazione è l’insieme dei simboli e delle regole che permettono di esprimere i

numeri. Un sistema di numerazione si dice posizionale se il valore di un simbolo dipende dalla

posizione che esso occupa nella scrittura del numero.

Si chiamano cifre i simboli usati in un sistema di numerazione posizionale.

Esempio. Nel numero 1375 le cifre sono 1, 3, 7, 5.

Si dice base di un sistema di numerazione il numero di simboli che si usano per scrivere i numeri.

Sistema di numerazione a base n significa che ogni numero si esprime mediante l’uso di n cifre,

ciascuna delle quali ha un valore che corrisponde alla potenza di base n ed esponente il posto k

occupato da quella cifra contando a partire da destra verso sinistra.

Solitamente si usano i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 per i sistemi di numerazione a base minore o

uguale a 10, per i sistemi di numerazione a base maggiore di 10, dopo il 9 si usano le lettere

dell’alfabeto: A, B, C, D, E, F, …

Scrittura polinomiale di un numero. Nei sistemi posizionali ogni numero intero si esprime come

somma di potenze che hanno per base la base del sistema di numerazione ed esponente la posizione

occupata dalla cifra: m

∑ ≥

= ≤ ≤ − ∈ `

k B 2 a B a

n a B , con base , cifre 0 1,

k k k

=

k 1

10.1 Sistema decimale

Nel sistema di numerazione decimale si usano i dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

. Nella scrittura polinomiale un numero in base 10 si scrive come somma di

Scrittura polinomiale

potenze di 10 moltiplicate per le cifre che compongono il numero, la potenza del dieci che

moltiplica ciascuna cifra è pari alla posizione occupata dalla cifra contando da destra verso sinistra

e cominciando a contare da zero.

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

3 2 1 0

Esempio. 7408 7 10 4 10 0 10 8 10

. Un qualsiasi numero reale può essere scritto nella forma polinomiale

Numeri decimali ( )

n

∑ − − −

= ± = ± + + + + + + + +

3 2 1 0 1 2

k n

r a 10 ... a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 ... a 10

− − −

3 2 1 0 1 2

k n

=−∞

k

Dove n è un indice finito opportuno; le potenze negative di 10 possono essere infinite nel caso di un

numero decimale periodico o irrazionale.

1 1 1 1

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

. 132, 0735 5 3 7 0 2 3 10 1 100

Esempio 10.000 1.000 100 10

10.2 Sistema binario

Nel sistema di numerazione binario si usano due simboli, solitamente indicati con 0 e 1.

. Per trasformare un numero dalla base 2 alla base 10 si scrive il

Cambiamento di base da 2 a 10

numero nella forma polinomiale e si calcola il valore dell’espressione ottenuta considerando tutti i

numeri come scritti in base 10.

Esempio = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

0 1 2 3 4 5 6 7

11101001 1 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2

(2) ⋅ + &sdo