Sistema goniometrico misto

Discutere, al variare del parametro reale k, il seguente sistema misto:

L’equazione data può essere scritta nella forma da cui si

nota che essa è simmetrica in sin x e cos x; poniamo, come spesso conviene in tal caso, (1)

e l’equazione diventa

da cui mediante le formule di duplicazione ottenendo l’equazione

Conviene ora trasformare questa in sin z

La limitazione sull’incognita x assegnata dal testo diviene, in base alla (1),

Siamo condotti a discutere il sistema misto goniometrico

(2)

sin z = t

Poniamo ora (3) e siamo condotti a discutere il sistema misto (algebrico)

(4)

È importante notare, osservando le sostituzioni (1) e (3) utilizzate, le limitazioni dell’incognita z e la

circonferenza goniometrica, che ad ogni soluzione del sistema (4) corrispondono due soluzioni

(supplementari) del sistema (2), mentre ad ogni soluzione del sistema (2) ne corrisponde una del sistema

dato all’inizio. Si potrebbe pensare di eliminare tale complicazione utilizzando, al posto della (1), la

dell’incognita z, ma con tale sostituzione

sostituzione che porta alla limitazione

conviene trasformare l’equazione del sistema misto in ottenendo l’equazione

cos z

e ponendo quindi cos z = t; osservando però la nuova limitazione di z ottenuta e la circonferenza goniometrica, si nota che ancora a un valore di t corrispondono due valori di z (stavolta opposti), ritrovando

una situazione analoga a quella ottenuta con la sostituzione (1).