Set Theory

Set theory

Let be a set X (insieme).

( ) ≔ ⊆ {Y ∨Y } power set P X X (insieme delle parti).

Index set I.

{ } ⊆ ∀ ∈ E E X i I family (or collection) indexed by, I ii ∈ i I.

{ } { } = E E = N sequence I (successione) n nn ∈ N.

{ } ( ) ⊆ E P X.

Sequence e monotonia

Def: A sequence is said to be monotone increasing (monotona crescente) n ( ) ⊆ ⊇ E E E E ∀ (decreasing) if n ∈ N n n+1 n n+ 1.

Unione, intersezione e famiglia disgiunta

{ } { } ( ) ⊆ ∈ ∈ ∈ ¿ = E P X i ∈ I E x X : ∃ i I, x E Def: i i i ∈ i I.

{ } ∈ ∀ ∈ ¿ = i ∈ I E x X : i ∈ I, x E i i.

{ } ∀ ∈ = ∅ E ∩ E j, k I, j ≠ k E.

A family is disjoint if (disgiunta) j k i ∈ i I.

Examples and recall

Ex: [ ] ( ) 1 1 1 1 [ ] ( ) ¿ ¿ = ¿ ¿ = n=1 ∞ a−, b+ a, b n=1 ∞ a+, b− a, b n n n n.

Recall: { } ⊆ x R i.

{ } { } ¿ ≔ lim inf x k ≥ 1 inf x ≔ inf ¿ ¿ lim x x n nn nn ≥ k n → ∞ n ≥ k n → ∞ k ≥ 1 ≔ ≔ ¿ E inf E n n ¿ ¿ n=k n=k.

Limits of sets

Def: Let { } ∞ E ∞ E ( ) ⊆ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ E P X lim k=1 ∞ ⁡ lim k=1 ∞ [ ] [ ] n nn n → ∞ n → ∞.

≔ ¿ = lim = F lim E inf E F lim E ⁡ If then n n nn → ∞ n → ∞ n → ∞.

Ex: ∈ ⟺ ∈ ∀ ⟺ ∈ ¿ ¿ ¿ x lim E x n=k ∞ E k ≥ 1 x E ∈.

• I. For infinitely many n N n n nn → ∞.
• II. For some n n nn → ∞ ∈ ∈ ¿ ¿ x lim inf E ⁡ ⟺ x n=k ∞ E ∈ ⟺ ∃ k ∈ ∈ ∀ k N N s. t. x E n ≥ k.
• III. n nn → ∞ n → + ∞ ( )( ) C C = ¿ lim inf E lim E ⁡.

Monotone examples

Ex: = ¿ E n=1 n.

• I. { } ↗ ⇒ ¿ ¿ E lim ∞ E ⁡ n nn → ∞.
• II. = ¿ E n=1 n ii. { } ↘ ⟹ ¿ ¿ E lim ∞ E ⁡ n nn → ∞.

Cover e subfamily

{ } E Def: A family of sets is called a cover (a covering) of if X i ∈ i I ⊆ ¿ X i ∈ I E i.

{ } ⟺ ⊆ E J I Def: A subfamily of a cover ( ) which itself forms a cover is i ∈ J.