Serie Numeriche

02. Oscillatore armonico smorzato

y'' + w²y = f(t)

Le soluzioni di y'' + w²y = 0 si trovano ponendo det. λ² + w² = 0 ↔ λ = ± iλw. Le soluzioni sono allora z₁(t) = cos(wt), z₂(t) = sen(wt).

{ C₁cos(wt) + C₂sen(wt) = 0
{ C₁(- wsen(wt)) + C₂(wcos(wt)) = f

{ C₂ = - C'₁ cos(wt)     sen(wt)
- wC₁sen(wt) - C'₁ cos(wt) cos(wt) = f      sen(wt) w cos(wt)

Dalla seconda ottengo:
- wC₁ (sen²(wt) + cos²(wt)) = f      sen(wt)

C'₁ = − 1 f sen(wt)   w
C'₂ = 1 f cos(wt)   w

→ C₁(t) = −∫₀^t 1 f(s)sen(ws) ds      w
C₂(t) = ∫₀^t 1 f(s) cos(ws) ds      w

Esiste una soluzione ȳ dell'equazione compla della forma:
ȳ(t) = cos(wt) ∫₀^t − 1 f(s) sen(ws) ds + sen(wt) ∫₀^t 1 f(s) cos(ws)

02. Oscillatore armonico smorzato

y'' + w²y = f(t)

Le soluzioni di y'' + w²y = 0 si trovano osservando che λ² + w² = 0 ↔ λ = ± iλw, le soluzioni sono allora z₁(t) = cos(wt), z₂(t) = sen(wt).

C₁cos(wt) + C₂sen(wt) = 0

C₁(-wsen(wt)) + C₂(wcos(wt)) = f

C₂ = -C₁^' (sen(wt) / cos(wt))

-wC₁sen(wt) - C₁^'(cos(wt) / sen(wt)) = wcos(wt) = f

Dalla seconda ottengo:
-wC₁^' (sen²(wt) + cos²(wt)) = f

C₁^' = f sen(wt) / w C₂^' = 1 / w f cos(wt)

⇒ C₁(t) = -∫₀^t 1 / w f(s) sen(ws) ds

C₂(t) = ∫₀^t 1 / w f(s) cos(ws) ds

Esiste una soluzione y_ƒ dell'equazione compl data dalla forma:
y_ƒ(t) = cos(wt)∫₀^t(-1 / w f(s) sen(ws)ds + sen(wt) ∫₀^t w f(s) cos(ws)

Serie numeriche

Somma di ∞ numeri.

Es. divido un segmento unitario:
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^m = 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + ... + (1/2)^m

m → ∞

Quindi: ∑_k=1^m(1/2)^k oppure ∑_k=1^∞(1/2)^k = 1

Def: Una successione {a_k}_k=0^∞ ⊂ R definisce la serie numerica ∑_k=0^∞a_k. Le somme (finite) S_N = ∑_k=0^Na_k sono dette somme parziali (∀ N > 0).

La serie è convergente a ℓ ∈ R se ∃ il lim_N→∞S_N = ℓ e si scrive l = ∑_k=0^∞a_k = lim_N→∞∑_k=0^Na_k.

Se ≠ lim_N→∞S_N si dice che la serie non converge.

N.B. se ∑_k=1^∞a_k converge => a_k → 0 _k→∞

Es. A_k = ¹/_2^k k = 0, ..., ∞ ∑ a_k · 1 ➞ l

Serie geometrica di ragione q ≥ 0

∑_k=0^∞ q^k = 1 + q + q² + q³ + ... + q^k

Supponiamo q ≥ 1.

S_N = ∑_k=0^N q^k ≥ ∑_k=0^N 1 = (N+1)

lim S_N = lim (N+1) = +∞^{N➞+∞ N➞∞}

∑_k=0^∞ q^k non converge (o diverge) a ∞.

Se 0 ≤ q < 1: S_N = ∑_k=0^N q^k = ^1-qN+1/_1-q, si dimostra per induzione: infatti per N ≥ 0

lim S_N = lim ^1-qN+1/_1-q = ¹/_1-q ≠ ^∞ lim ∑_k=0^∞ q^k

In caso di partizione diversa si hanno due serie diverse:
∑_k=0^∞ q^k ∑_k=Ko^∞ q^k: a₀ + a₁ + ... + ( a_ko + α_Ko+1 + ...)

Se convergono ∑_k=0^∞ A_k = ➖∑_k=0