Serie infinite

Analisi

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Appunto contenente concetti base e alcuni esempi notevoli spiegati passo dopo passo, riguardanti le serie infinite.

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Sintesi

Questo appunto si propone di fornire alcuni concetti base relativi alle serie infinite. Per fare ciò, bisogna prima esplorare alcuni concetti base, a partire dalle successioni.

Successioni

Una successione è un insieme di numeri indicizzati da numeri naturali. Può quindi essere vista, se si vuole, come una funzione da

[math] \mathbb{N} [/math]

[math] \mathbb{R} [/math]

(o eventualmente insieme dei numeri complessi).
Si indicano di solito con la notazione seguente:

[math] \{a_n\} [/math]

.
Ad esempio la successione dei numeri pari:

[math] a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 6, \dots [/math]

dove l'elemento

[math] n-[/math]

esimo è il

[math]n-[/math]

esimo numero pari.

Somme parziali

Una somma parziale, data una successione, è data dalla somma dei primi

[math] k [/math]

termini di una successione data.
Prendendo come esempio la successione di prima, si può definire:

[math] S_1 = a_1, S_2 = a_1 + a_2, S_3 = a_1 + a_2 + a_3, \dots [/math]

e così via.
Quindi anche l'insieme delle somme parziali rappresenta una successione! Però essa "deriva" da

[math] a_n [/math]

Serie infinita

Data una successione, e data la successione delle sue somme parziali, la somma infinita è data dal limite, per

[math] n \to \infty [/math]

della successione delle somme parziali.
In formule:

[math] S = \lim _{x \to \infty} S_n [/math]

Se questo limite esiste ed è finito, diremo che la serie converge.
Se questo limite esiste, ma è infinito, diremo che la serie diverge.
Altrimenti, se il limite non esiste, diremo che la serie è indeterminata.

Vediamo un esempio per ciascuna delle tre casistiche.

Esempi

Data la successione
[math] a_n = \left ( \frac{1}{2} \right )^n [/math]
la serie infinita associata a tale successione viene detta serie geometrica. In generale una serie infinita in cui il rapporto tra due termini successivi vale
[math] r [/math]
vale
[math] \frac{1}{1-r} [/math]
a patto che
[math] |r| < 1 [/math]
.

Data la successione
[math] a_n = 1 [/math]
, è abbastanza immediato notare che sommare
[math] 1 [/math]
infinite volte porta ad avere una quantità senza limite. Pertanto in questo caso la serie infinita diverge.

Consideriamo la successione
[math] a_n = (-1)^n [/math]
, in questo caso si ha che la successione vale 1 sui pari e -1 sui dispari. Pertanto, dato che le somme parziali oscillano continuamente tra
[math] 1 [/math]
e
[math] 0 [/math]
, la serie è indeterminata perché la successione delle serie parziali è oscillante (non ammette limite).