Viaggio attraverso l'infinito - Tesina

L’infinito: limite e stimolo della conoscenza umana

Fanelli Mario

Classe V – Sez. B

Anno scolastico 2013/2014

Introduzione

Una delle idee che più ha interessato, affascinato, ma anche spaventato l’uomo nel corso della storia è il concetto di infinito. Pane quotidiano dei matematici, croce e delizia dei fisici, è stato uno dei grandi problemi della storia del pensiero. Per infinito si intende tutto ciò che non ha limite in estensione, quantità, durata. È qualcosa senza fine: deriva, infatti, dal latino “finitus”, cioè limitato.

La parola stessa lo ammette, così come avviene per molte lingue: in-finito, a-peiron, un-endlich, dove il prefisso ha lo scopo di negare il significato della radice della parola che indica limite.

Sebbene fin dagli albori della storia umana questa entità non sia mai stata connessa direttamente a problemi pratici, molti sono stati gli spunti da cui si è originato il concetto di infinito, come, per esempio, l’innato desiderio umano di esplorare al di là del mondo conosciuto, che ha sempre avuto un termine.

Fra tutte le “invenzioni” umane, quindi, quella dell’infinito è forse la più affascinante, al punto tale che è stata analizzata da molte discipline: filosofia, poesia, artistica, matematica, astronomia, fisica…

Percorso

• Letteratura italiana: “Giacomo Leopardi”
• Filosofia: “Arthur Shopenhauer”
• Letteratura inglese: “The Infinite for Romantic poets”
• Storia dell’arte: “La pittura metafisica (De Chirico)”
• Letteratura latina: “L’infinito in Sant’Agostino”
• Geografia astronomica: “Modello cosmologico del Big Bang”
• Storia: “Guerra fredda”
• Matematica: “Calcolo infinitesimale”
• Fisica: “Il potenziale elettrico”

Nastro di Möbius

La scelta dell’immagine di copertina per la mia tesina non è stata casuale. Infatti in matematica, e più precisamente in topologia, il nastro di Möbius è un esempio di superficie non orientabile e di superficie rigata. Trae il suo nome dal matematico tedesco August Ferdinand Möbius.

Le superfici ordinarie, intese come le superfici che nella vita quotidiana siamo abituati ad osservare, hanno sempre due “lati” (o meglio, facce), per cui è sempre possibile percorrere idealmente uno dei due lati senza mai raggiungere il secondo, salvo attraversando una possibile linea di demarcazione costituita da uno spigolo (chiamata “bordo”): si pensi ad esempio alla sfera, o al cilindro. Per queste superfici è possibile stabilire convenzionalmente un lato “superiore” o “inferiore”, oppure “interno” o “esterno”.

Nel caso del nastro di Möbius, invece, tale principio viene a mancare: esiste un solo lato e un solo bordo. Dopo aver percorso un giro, ci si trova dalla parte opposta. Solo dopo averne percorsi due ci ritroviamo sul lato iniziale. Quindi per esempio si potrebbe passare da una superficie a quella “dietro” senza attraversare il nastro e senza saltare il bordo ma semplicemente camminando a lungo.

Un nastro di Möbius può essere facilmente realizzato partendo da una striscia rettangolare ed unendone i lati corti dopo aver impresso ad uno di essi mezzo giro di torsione, pari a 180°. A questo punto se si percorre il nastro con una matita, partendo da un punto casuale, si noterà che la traccia si snoda sull’intera superficie del nastro che è quindi unica.

Nella costruzione, si ottiene comunque un nastro di Möbius imprimendo al lato corto n mezzi giri di torsione, con n dispari (nel nastro di Möbius “classico”, n=1).

L’oggetto deve il suo nome al matematico August Ferdinand Möbius (1790-1868) che fu il primo a considerare la possibilità di costruzione di figure topologiche non orientabili.

Applicazioni pratiche

Informatica

In campo informatico il nastro di Möbius è stato occasionalmente utilizzato per realizzare cartucce dati ad accesso casuale contenenti nastri magnetici registrati su entrambe le facce: l’accorgimento permette di raddoppiare lo spazio di memorizzazione.

Cinematografia

Il principio dell’anello di Möbius è stato applicato nella filmografia per sovrapporre le immagini, per creare dissolvenze.

Meccanica

Le cinghie di trasmissione possono utilizzare il nastro di Möbius per distribuire l’usura sulle due facce (e quindi durare di più). Un esempio di questa applicazione è rappresentato nelle vecchie trebbiatrici, che ricevevano il moto da un trattore posto ad alcuni metri tramite una cinghia con le facce incrociate.

Il calcolo infinitesimale

Il calcolo infinitesimale è la branca fondante dell’analisi matematica che studia il “comportamento locale” di una funzione tramite le nozioni di continuità e di limite, usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica, e della scienza in generale.

Le funzioni a cui si applica sono a variabile reale o complessa. Tramite la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale.

Limite matematico

In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l’andamento di una funzione all’avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento (per esempio una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell’analisi matematica, in quanto sono usati per definire la continuità, la derivazione e l’integrazione.

Limite di una funzione

Il concetto di limite di una funzione è strettamente correlato a quello di limite di una successione. Siano dati una funzione definita su un sottoinsieme della retta reale ed un punto di accumulazione di .

Un numero reale è il limite di per tendente a se la distanza fra ed è arbitrariamente piccola quando si avvicina a .

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi è la distanza fra e e è la distanza fra ed . Il concetto di “arbitrariamente piccolo” è espresso formalmente con i quantificatori “per ogni” (quantificatore universale) ed “esiste” (quantificatore esistenziale).

Formalmente, è limite se per ogni numero reale piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo tale che: per ogni in con .

In questo caso si scrive:

La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.

Un intorno destro di un punto della retta estesa è un intervallo del tipo con . Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo . In particolare, gli intorni di sono tutti destri e quelli di sono sinistri.

A questo punto, sia con punto di accumulazione per . Un valore della retta estesa è limite destro per in se per ogni intorno di esiste un intorno destro di tale che appartiene a per ogni in .

Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come:

Vale il risultato seguente: una funzione ha limite in se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti sono finiti e coincidono.

Ad esempio, la funzione gradino mostrata in figura ha limite sinistro e destro in , ma questi non coincidono: quindi non ha limite in :

Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l’intorno di con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:

Il potenziale elettrico

In fisica e in particolare in elettromagnetismo, il potenziale elettrico è il potenziale scalare associato all’interazione elettromagnetica. Il potenziale elettrico è la componente temporale del quadripotenziale: insieme al potenziale magnetico, che ha natura vettoriale, forma il potenziale associato al campo elettromagnetico.

Definizione

Data una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico conservativo, si definisce potenziale elettrico in un punto il valore dell’energia potenziale elettrica rilevato da una carica elettrica positiva di prova posta in quel punto per unità di carica. Il potenziale elettrico è dunque il rapporto tra l’energia potenziale elettrica (ossia il lavoro che deve compiere la forza dovuta al campo elettrico per spostare una o più cariche da quel punto fino all’infinito, ove si assume potenziale nullo) e la carica di prova.

L’energia potenziale elettrica della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all’interno del campo elettrico, e pertanto il potenziale elettrico della carica di prova è definito operativamente come il rapporto tra l’energia potenziale e il valore della carica stessa, cioè:

Il potenziale è dunque una quantità scalare e non dipende dal valore della carica di prova. La sua unità di misura è inoltre il volt: tra due punti A e B di una regione di spazio sede di un campo elettrico c’è una differenza di potenziale di 1 V se la forza elettrica compie il lavoro di un Joule per portare una carica di un Coulomb da A a B.

Si definiscono superfici equipotenziali per il potenziale elettrico le superfici in ogni punto delle quali il potenziale elettrico assume lo stesso valore. Questo implica che il lavoro del campo elettrico lungo una superficie equipotenziale è nullo ovunque perché è nulla la componente del campo elettrico parallela al campo, cioè il campo elettrico è ortogonale alla superficie equipotenziale.

Energia potenziale elettrica

In fisica, l’energia potenziale elettrica, anche detta energia potenziale elettrostatica, è l’energia potenziale del campo elettrostatico. Si tratta dell’energia posseduta da una distribuzione di carica elettrica, ed è legata alla forza esercitata dal campo generato dalla distribuzione stessa. Insieme all’energia magnetica, l’energia potenziale elettrica costituisce l’energia del campo elettromagnetico.

L’energia potenziale elettrostatica può essere definita come il lavoro svolto per creare una distribuzione di carica partendo da una configurazione iniziale in cui ogni componente della distribuzione non interagisce con gli altri. Ad esempio, per un sistema discreto di cariche essa coincide con il lavoro svolto per portare le singole cariche da una posizione in cui esse hanno potenziale elettrico nullo alla loro disposizione finale. L’energia potenziale elettrostatica può anche essere definita a partire dal campo elettrostatico generato dalla distribuzione stessa, ed in tale caso la sua espressione è indipendente dalla sorgente del campo.

Si tratta di una quantità che può essere sia negativa che positiva, a seconda che il lavoro svolto per portarle nella configurazione assunta sia positivo o negativo. Due cariche interagenti dello stesso segno hanno energia positiva, poiché il lavoro svolto per avvicinarle deve vincere la loro repulsione, mentre per lo stesso motivo due cariche di segno opposto hanno energia negativa.

Modello cosmologico del Big Bang

Cronologia

L’estrapolazione dell’espansione dell’universo a ritroso nel tempo utilizzando la relatività generale conduce ad una condizione di densità e temperatura talmente elevate numericamente, da tendere all’infinito, tale condizione si è mantenuta in un tempo di durata infinitesima, talmente breve da risultare di non facile studio con la fisica attuale. Questa singolarità indica il punto in cui la relatività generale perde validità. Si può continuare con questa estrapolazione fino al tempo di Planck, che è il più piccolo intervallo di tempo misurabile con le attuali leggi fisiche. La fase iniziale calda e densa è denominata “Big Bang” ed è considerata la nascita dell’universo. In base alle misure dell’espansione riferite alle supernovae, alle misure delle fluttuazioni di temperatura nella radiazione cosmica di fondo, e alle misure della funzione di correlazione delle galassie, e gli ultimi e più attendibili dati forniti dal telescopio-sonda spaziale Planck Surveyor dell’Agenzia Spaziale Europea, l’universo ha un’età calcolata di 13,798 ± 0,037 miliardi di anni. Il risultato di queste quattro misurazioni indipendenti è in accordo con il cosiddetto modello ΛCDM.

Sulle primissime fasi del Big Bang esistono molte speculazioni. Nei modelli più comuni, l’universo inizialmente era omogeneo, isotropo, con una densità energetica estremamente elevata, temperature e pressioni altissime e si stava espandendo e raffreddando molto rapidamente. All’incirca 10^−37 secondi dopo l’istante iniziale, una transizione di fase causò un’inflazione cosmica, durante la quale l’universo aumentò le sue dimensioni esponenzialmente. Quando il processo di inflazione si fermò, il cosmo era formato da un plasma di quark e gluoni, oltre a tutte le altre particelle elementari. Le temperature erano così alte che il moto casuale delle particelle avveniva a velocità relativistiche e coppie particella-antiparticella di ogni tipo erano continuamente create e distrutte nelle collisioni.

L’universo continuò ad espandersi e la sua temperatura continuò a diminuire, quindi l’energia tipica di ogni particella andò diminuendo.

Qualche minuto dopo l’istante iniziale, quando la temperatura era all’incirca 10^9 kelvin (ovvero un miliardo di kelvin) e la densità paragonabile a quella dell’aria, i neutroni si combinarono con i protoni, formando i primi nuclei di deuterio e di elio in un processo chiamato nucleosintesi. La maggior parte dei protoni non si combinò e rimase sotto forma di nuclei di idrogeno. Quando l’universo si raffreddò, il contributo della densità energetica della massa a riposo della materia arrivò a dominare gravitazionalmente il contributo della densità di energia associata alla radiazione del fotone. Dopo circa 379 000 anni, gli elettroni e i vari nuclei si combinarono formando gli atomi (soprattutto idrogeno).