Serie geometriche

Carlo Elce

Appunti di analisi matematica

www.matematicamente.it

Successioni e serie

Serie geometriche

Una serie geometrica è la somma dei termini di una progressione geometrica.

Variabili

Numero di termini:

n

Primo termine:

a₁

Ragione:

q

Formula

Somma parziale n-esima di una serie geometrica:

s_n = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)

Esempio 1

Troviamo l'8ª somma parziale della serie geometrica 1, 2, 4, 8, ...

Numero di termini:

n := 8

Primo termine:

a₁ := 1

Ragione:

q := 2 / 1

Somma dei primi n termini:

s_n := a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)

Somma:

s_n = 255

Carlo Elce

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Un altro modo, per indicare una somma parziale n-sima, è quello di usare l'operatore sommatoria e la formula per una progressione geometrica:

Termini:

k := 1...n

Somma:

a₁·q^{k − 1} = 255

Esempio 2

Una palla da tennis è lasciata cadere da un'altezza di 0.8 m. Essa rimbalza ogni volta a 7/10 della sua altezza precedente. Trova una serie geometrica che dia origine alla distanza totale percorsa dalla palla di tennis. Quale distanza ha percorso la palla da tennis dopo 5 rimbalzi?

Numero di termini:

n := 5

Altezza iniziale:

h₁ := 4/5·m

Ragione:

q := 7/10

Distanza percorsa:

(h₁ + q·h₁) + (q·h₁ + q²·h₁) + (q²·h₁ + q³·h₁) + ...

Formula della sommatoria:

D = h₁ + 2·h₁·q^k

k = 1

Distanza percorsa dopo 5 rimbalzi:

(h₁ + 2·h₁·q^k) − h₁·qⁿ = 3.771·m

Distanza totale in su e in giù percorsa dalla palla dopo un numero infinito di rimbalzi:

h₁ + sum_{k = 1}^infinity 2·h₁·(7/10)^k

si ottiene

17/3·h₁ = 4.533·m

Ecco un rozzo grafico della traiettoria della palla nei primi 5 rimbalzi. Abbiamo dato alla palla una velocità iniziale fissa per rendere il percorso più facile da visualizzare.

h_t(x) := h₁·q^x·(mod(2·x + 1, 2))

x := 0..10

h_t(x/2)

0

0.5

x

sum_{k = 0}^x q floor((k + 2)/2)