Matematica applicata alla tecnica, tesina

La matematica applicata alla tecnica

Giada Marconi

Tesina di maturità anno scolastico 2013/2014

I. Applicazione delle serie numeriche all’elettronica

II. L’integrale applicato ai segnali

III. Traffico di rete e probabilità

Istituto Faravelli, Stradella (PV), 5B ITI, progetto ABACUS

Giada Marconi 5B ITI Istituto Faravelli

“La matematica applicata alla tecnica”

Capitolo 1: applicazione delle serie numeriche all’elettronica

Un’importante applicazione degli strumenti matematici è quella concernente il campo dell’elettronica, al fine di rappresentare i principali segnali nelle telecomunicazioni come funzioni nel tempo.

Questi segnali generalmente di tipo periodico sono, infatti, associati a funzioni matematiche periodiche. La rappresentazione di queste funzioni avviene mediante l’utilizzo di componenti sinusoidali e cosinusoidali,

= +

Oppure:

= +

In cui possiamo individuare tre parametri fondamentali:

• A, l’ampiezza, ossia il valore di tensione che assume il segnale all’istante t;
• 0
• ω, la pulsazione, legata alla frequenza f del segnale dalla relazione ω=2πf;
• φ, la fase iniziale del segnale, che può essere nulla.

Tramite le funzioni trigonometriche sinusoidali e cosinusoidali è quindi possibile rappresentare tutte le funzioni periodiche, grazie al teorema introdotto da Fourier, secondo il quale qualsiasi funzione periodica può essere rappresentata come la somma di componenti sinusoidali di ampiezze diverse e frequenze multiple dell’armonica fondamentale, ovvero dell’armonica in corrispondenza alla frequenza del segnale.

Tramite l’analisi armonica dei segnali, infatti, è possibile sviluppare in serie di funzioni sinusoidali il segnale che si vuole studiare.

2

Giada Marconi 5B ITI Istituto Faravelli

“La matematica applicata alla tecnica”

La serie di Fourier

Per tale motivo, s’introduce l’uso delle serie trigonometriche, e in particolare della serie di Fourier.

Questo tipo di serie si presenta come la somma di una costante (che in elettronica rappresenta la componente continua del segnale) e di funzioni sinusoidali.

= + cos() + sin()

2 !!

Dove, in elettronica, a rappresenta la tensione picco-picco Vpp del segnale e la prima armonica

cos() + sin()

! !

è chiamata anche armonica fondamentale, e nello spettro del segnale è posta in corrispondenza della frequenza del segnale stesso.

I coefficienti a e b si calcolano con le formule:

k k

2 !

= cos

!

! ! e

2 !

= sin

!

! !

Analisi dell’onda quadra

Considerando dunque l’onda quadra completamente positiva (da 0V a 5V) impiegata per numerose applicazioni in elettronica come, ad esempio, segnale di sincronismo (clock) nelle trasmissioni digitali, possiamo effettuare un’analisi sui coefficienti a e b al fine di ricavare informazioni sulle ampiezze delle armoniche nello spettro del segnale.

k k

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