Serie e trasformate di Fourier

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Serie trasformata di Fourier A. Bernardini

SERIE E TRASFORMATE DI FOURIER.

SERIE DI FOURIER.

∞

∑ π ϑ

= + +

x ( t ) A A cos( 2 kf t )

0 k 0 k

=

k 1

dove: x(t) è una funzione (reale di variabile reale), periodica con periodo T

- (continua e derivabile con

0

derivata continua, anche se queste ultime condizioni possono anche essere sostituite con alcune più generali).

1

=

- f è la frequenza propria di x(t), ossia l’inverso del periodo di x(t).

T

0 0

ϑ

- A , A , sono valori reali che si possono calcolare in funzione dell’indice k e della

0 k k ϑ

funzione x(t). Nota la x(t) è perciò possibile determinare A , A , , per ogni indice k.

0 k k

ϑ

D’altra parte conoscendo solamente i valori A , A , , per ogni k, relativi ad una data

0 k k

funzione x(t) incognita è possibile chiaramente – mediante la formula precedente –

“ricostruire” la x(t).

- il secondo membro dell’uguaglianza prende il nome di sviluppo in serie di Fourier di x(t).

La precedente formula è senza dubbio una delle formule più importanti di tutta la Analisi

Matematica. La sua importanza è in prima linea concettuale.

Essa stabilisce infatti che, presa una funzione x(t) periodica che soddisfa le ipotesi di cui sopra, è

ϑ

A , A , k = 1,2,3,… i quali permettono di

possibile trovare un insieme di coefficienti reali 0 k k

esprimere la funzione di partenza x(t) come una somma di infinite cosinusoidi (il purista dirà che non esiste

una somma di infiniti termini, ma solo il limite di ..…, ma è possibile argomentare che ciò non è concettualmente importante ed a me

interessa farvi capire i concetti fondamentali). π ϑ

+

A cos( 2 1 f t )

Prendendo infatti il termine A e cominciando a sommare ad esso , che è una

1 0 1

0 ϑ

A

cosinusoide di ampiezza , frequenza f pari a quella di x(t) e fase , sommando poi una altra

1 1

0

π ϑ

+

A cos( 2 2 f t )

cosinusoide ,che sarà caratterizzata da una frequenza 2 f pari al doppio di

2 0 2 0

ϑ

quella di x(t) e da una ampiezza e fase pari a rispettivamente, e aggiungendo poi tutte le altre

A ,

2 2

cosinusoidi, che avranno frequenza pari sempre ad un multiplo intero k di f ,si otterrà via via una

0

approssimazione sempre migliore di x(t). Si può allora pensare che la x(t) è data da una

sommatoria infinita (=serie) di cosinusoidi, dalla serie di Fourier appunto.

La reale e straordinaria importanza di tale risul