Serie e successioni

Numeri naturali, interi relativi e razionali

N numeri naturali 0, 4, 2, 3.

Z numeri interi relativi -2, -4, 0, -1, 2, 3.

Operazioni in N

• Somma: + : N x N -> N (m, n) -> m + n
• Prodotto: x : N x N -> N (m, n) -> mn

Proprietà associativa, commutativa, elemento neutro. Elemento neutro. Proprietà associativa, commutativa. Elemento neutro. Distributiva.

Operazioni su Z

• Somma: + : Z x Z -> Z
• Prodotto: x : Z x Z -> Z

Gli stessi assiomi.

Numeri razionali

Q numeri razionali.

Le operazioni + : Q x Q -> Q;

Definizione di insieme e operazioni

Def un insieme.

N numeri naturali 0, 4, 2, 3, ...

Z numeri interi relativi ..., -2, -4, 0, +1, +2, +3...

Operazioni in N

Operazioni in N + N x N → N m, n ∈ N (m+n) ∈ N x N x N → N (m, n) → m x n

• Associativa: m+(n+p) = (m+n)+p
• Commutativa: m+n = n+m
• Elemento neutro: 0 + n = n
• Associativa: (m . n) . p = m (n . p)
• Commutativa: n . m = m . n
• Elemento neutro: 1 . n = n
• Distributiva: m (n + p) = m . n + m . p

Operazioni su Z

Operazioni su Z + Z x Z → Z x Z x Z → Z

Stessi assiomi di IN. Esistenza dell'opposto. Opposto è -m → m + (-m) = 0.

(Z, +) è un gruppo commutativo (abeliano). Negativo si può.

Operazioni in Q

Q numeri razionali mm, n ∈ Z m ≠ 0 numeri decimali finiti o periodici.

Le operazioni in Q + Q x Q → Q. Associativa. Stessi assiomi di N e Z (O+) (O . t).

(Q-{0}, . ) è un gruppo rispetto alla non dipendenza di un identità elemento in Q → [o] + : Q x Q → Q 0, x, 1, e Q, [o]-{0}

Campo e corpo commutativo

Un insieme K con due operazioni +, x si chiama: rispt le coppie alterne che K x K → K + : K x K → K tale che (K, +), gruppo commutativo e (K-{0}), gruppo commutativo è detta campo - corpo commutativo.

Relazione d'ordine

Su _N, _Z ⊆ ℚ c’è anche una relazione d’ordine (sono insiemi ordinati).

Se un insieme ammette una relazione d’ordine su sé è una legge che confronta gli elementi suoi.

Def (X, ≤) Se è un insieme ordinato x ≤ y oppure y ≤ x (≤ è un’insieme con una legge d’ordine).

Axiom: Riflessività. Antisimmetrica: x ≤ y, e y ≤ x —> x=y. Transitiva: se x ≤ y e y ≤ z —> x ≤ z.

Su _N, _Z, m ≤ m ⟺ m - m ϵ _N. Questa relazione si estende a ℚ.

Insieme totalmente ordinato e sottoinsiemi

Dato def sia (S, ≤) un insieme totalmente ordinato.

T ⊆ S un sottoinsieme. Ø contenuto (rivolto sc moto insieme).

x ϵ S è un maggiorante (rispettivamente minorante) per P se ∀ y ϵ S y ≤ x ∀ y ϵ T (risp. x ≤ z ∀ z ϵ T).

Ex. T=_N ⊂ S- ℤ -2 è maggiorante di N. 0 è minorante di N.

Invece non ci sono maggioranti ∩-elemento di x ϵ ℤ | x n ≤ x ∀ n ∈ _N} se intesimo tale x deve che x ϵ _N => x + 1 ϵ _N però x + 1 ≠ x.

Insiemi limitati

Def se D ammettere un maggiorante (risp. minorante) in S, diremo che (T limitato superiormente (risp. inferiormente) insieme illimitato = non supremamente né infimamente.

Ex _n ϵ _ℤ con m ϵ _N = {0, 1} T ⊂ SQ = _S maggiorante m ϵ _Q sup (1 ≤ ∀ m ϵ _N) m mod prove per m m ≤ 0 trova minorante 0 ≤ 1 ∀ m ϵ _N = {so} 0 ^U T.

Massimo e minimo

Def il sottoinsieme di (S, ≤), totalmente ordinato t un basamento (pos= massimo se un elemento di t che non maggiore di ≤ x detto massimo un elemento di t che non è minimo di _em dato R _en.

Per la definizione antisimmetria di ≤ => max/min è unico x.

Se x, x’ sono due massimi per t allora x ≤ t _L x _x’ (x’ ≤ e maggiore x’) => x = x’.

Ex. _N ⊂ ℤ ha un minimo 0.

Ex. {¹⁄_m ∈ ℚ | m∈ℕ-{0}} ⊂ ℚ ha un massimo 1 elevato 1 superiore tuttavia non ha un minimo.

Dimostrazione per assurdo ⟹ ¹⁄_m0 = minimo con m ∈ ℕ ≠ 0 assurdo perché ¹⁄_m0+1 <