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Verso l’Esame di Stato nel Liceo Scientifico

Problema

= · +

2

Risolvere i quesiti che seguono relativamente alla funzione f(x) = x2 log(1 + x).

a) Scrivere il polinomio di Taylor del terzo ordine, di punto iniziale x = 0.

b) Scrivere la formula di Taylor di ordine tre con il resto di Peano di punto iniziale x = 0 e dimostrare che il resto è un infinitesimo di ordine superiore a tre per x → 0.

Soluzione

a) La funzione in esame è trascendente logaritmica ed è definita nell’intervallo aperto A = ]−1; +∞[. La funzione ammette derivata di qualsiasi ordine in ogni punto del dominio, quindi esistono i polinomi di Taylor di qualsiasi ordine per ogni punto del dominio.

Ricordiamo che il polinomio di Taylor di punto iniziale x0 di ordine n per la funzione f(x) è così definito:

Pn(x) = f(x0) + f′(x0)(x − x0) + f′′(x0)/2! (x − x0)2 + ... + f(n)(x0)/n! (x − x0)n (1)

Per la funzione in esame risulta x0 = 0 ed n = 3. Occorre dunque determinare f(0), f′(0), f′′(0), f′′′(0). Si ha:

f(0) = 0.

L’espressione della funzione derivata prima è:

f′(x) = 2x log(1 + x) + x2/(1 + x) → f′(0) = 0;

l’espressione della funzione derivata seconda è:

f′′(x) = 2 log(1 + x) + 2x/(1 + x) + 2x/(1 + x)2 → f′′(0) = 0;

l’espressione della funzione derivata terza è:

f′′′(x) = 2/(1 + x) + 2/(1 + x) + 2(1 − x)/(1 + x)3 → f′′′(0) = 6.

Il polinomio di Taylor del terzo ordine richiesto è dunque

P3(x) = f(0) + f′(0)x/1! + f′′(0)x2/2! + f′′′(0)x3/3! = x3 (2)

b) La formula di Taylor di punto iniziale x = 0 di ordine tre con il resto di Peano è la seguente:

f(x) = P3(x) + x3 · ω(x), (3)

nella quale P3(x) è il polinomio di Taylor espresso dalla (2) ed il termine complementare x3 · ω(x) rappresenta il resto di Peano. Occorre dimostrare che il resto è un infinitesimo di ordine superiore a tre per x → 0. Per provare la tesi occorre dimostrare che risulta

limx→0 ω(x) = 0. (4)

Ebbene, dalla (3) si deduce che

x3 · ω(x) = f(x) − P3(x) = x2 log(1 + x) − x3

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Serie di Taylor per la maturità - introduzione Pag. 1
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Sintesi

Serie di Taylor

In questo appunto andremo ad approfondire le serie di Taylor, utili strumenti per approssimare funzioni arbitrariamente "complesse" tramite l'utilizzo di funzioni molto più semplici: i polinomi.

Definizione

Sia data una funzione

[math] f [/math]
, derivabile abbastanza volte. Denotiamo inoltre con
[math] f^{(k)} [/math]
la derivata
[math] k- [/math]
esima della funzione
[math] f [/math]
. Si dice polinomio di Taylor di ordine
[math] k [/math]
relativo a
[math] f [/math]
centrato nel punto
[math] x_0 [/math]
il polinomio seguente:

[math] \sum_{i=0}^{k} f^{(i)} (x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^i}{i!} [/math]

In particolare, quando

[math] x_0 = 0 [/math]
diremo che la formula di sopra è il polinomio di Mac-Laurin di ordine
[math] k [/math]
della funzione
[math] f [/math]
.

Tali sviluppi risultano particolarmente utili per approssimare localmente delle funzioni che, altrimenti sarebbero troppo complesse da calcolare/disegnare oppure che renderebbero troppo difficile lavorare con esse quando compaiono, per esempio, nel calcolo dei limiti. In genere accade (con pochissime eccezioni) che più il grado

[math] k [/math]
è alto, più fedele è l'approssimazione della funzione
[math] f [/math]
con il polinomio di Taylor. Maggiori dettagli si possono reperire nel PDF sottostante.

Osservazione 1:

Il polinomio di Taylor di ordine 1 della funzione

[math] f [/math]
centrato nel punto
[math] x_0 [/math]
non è altro che la retta tangente al grafico di
[math] f [/math]
nel punto
[math] x_0 [/math]
. Si può dire che essa è la retta che, in un intorno di
[math] x_0 [/math]
, approssima meglio la funzione
[math] f [/math]
.

Osservazione 2:

Il polinomio di Taylor di grado

[math] k [/math]
associato ad una funzione polinomiale di grado
[math] k [/math]
non è altro che il polinomio stesso, per qualsiasi valore di
[math] x_0 [/math]
.

Esempi

Vediamo qualche esempio:

Sia data la funzione

[math] f(x) = e^x [/math]
. Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 centrato nel punto
[math] x_0 = 0[/math]
.

Osserviamo che la funzione

[math] f(x) [/math]
è ben nota per essere derivabile infinite volte e le derivate di tale funzione coincidono sempre con la funzione stessa! Pertanto è necessario calcolare tali derivate, fino all'ordine 4, in
[math] x=0 [/math]
. Ma a questo punto è chiaro che, essendo
[math] e^0 = 1 [/math]
, si ha:

[math] f^{(4)} (0) = f^{(3)} (0) = f^{(2)} (0) = f^{(1)} (0) = f(0) = e^0 = 1 [/math]

Ricordiamoci di dividere per il fattoriale dell'ordine della derivata! Otteniamo così il polinomio di Taylor della funzione

[math] f [/math]
centrato in
[math] x=0 [/math]
e di ordine 4:

[math] P_4(x) = 1+x+\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} [/math]

Tale polinomio si può anche "estendere" a gradi successivi applicando la formula vista nel paragrafo precedente.

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