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Verso l’Esame di Stato nel Liceo Scientifico

Problema = ⋅ +

2

Risolvere i quesiti che seguono relativamente alla funzione f ( x ) x log(1 x ) .

a) Scrivere il polinomio di Taylor del terzo ordine, di punto iniziale x=0.

b) Scrivere la formula di Taylor di ordine tre con il resto di Peano di punto iniziale x=0 e

dimostrare che il resto è un infinitesimo di ordine superiore a tre per x→0.

Soluzione

a) La funzione in esame è trascendente logaritmica ed è definita nell’intervallo aperto A)]-

1;+∞[. La funzione ammette derivata di qualsiasi ordine in ogni punto del dominio,

quindi esistono i polinomi di Taylor di qualsiasi ordine per ogni punto del dominio.

Ricordiamo che il polinomio di Taylor di punto iniziale x di ordine n per la funzione

o

f(x) è così definito: ( )

n

f '( x ) f ''( x ) f ( x )

− + + −

= + − + 2 n

0 0 0

x x x x (1)

P ( x ) f ( x ) ( x x ) ( ) ... ( )

n 0 0 0 0

n

1! 2! ! ′ ′

Per la funzione in esame risulta x =0 ed n=3. Occorre dunque determinare f(0), f (0), f (0),

o

′′′

f (0). Si ha:

=

f (0) 0 .

L’espressione della funzione derivata prima è:

2

x

= + + → =

f '( x ) 2 x log(1 x ) f '(0) 0 ;

+

1 x

l’espressione della funzione derivata seconda è:

+

2

2 x x 2 x → =

= + + + f ''(0) 0 ;

f ''( x ) 2 log(1 x ) + + 2

x x

1 (1 )

l’espressione della funzione derivata terza è:

2 2 2 =

= + + →

f '''( x ) f '''(0) 6

+ + +

2 3

1 (1 ) (1 )

x x x

Il polinomio di Taylor del terzo ordine richiesto è dunque

f '(0) f ''(0) f '''(0) 6

= + + + = =

2 3 3 3

P ( x ) f (0) x x x x x (2)

3 1! 2! 3! 3!

La formula di Taylor di punto iniziale x=0 di ordine tre con il resto di Peano è la

b) seguente ω

= + ⋅

3

f ( x ) P ( x ) x ( x ) , (3)

3

nella quale P ( x ) è il polinomio di Taylor espresso dalla (2) ed il termine complementare

3

ω

⋅

3

x ( x ) rappresenta il resto di Peano. Occorre dimostrare che il resto è un infinitesimo

di ordine superiore a tre per x→0. Per provare la tesi occorre dimostrare che risulta

ω

⋅

3

x ( x ) =

lim 0 . (4)

3

→ x

x 0

Ebbene, dalla (3) si deduce che

ω

⋅ = − = + −

3 2 3

x ( x ) f ( x ) P ( x ) x log(1 x ) x

3

e dunque per il limite (4) si ha

ω

⋅

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Serie di Taylor per la maturità - introduzione Pag. 1
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Sintesi
In questo appunto andremo ad approfondire le serie di Taylor, utili strumenti per approssimare funzioni arbitrariamente "complesse" tramite l'utilizzo di funzioni molto più semplici: i polinomi.

Definizione


Sia data una funzione
[math] f [/math]
, derivabile abbastanza volte. Denotiamo inoltre con
[math] f^{(k)} [/math]
la derivata
[math] k- [/math]
esima della funzione
[math] f [/math]
. Si dice polinomio di Taylor di ordine
[math] k [/math]
relativo a
[math] f [/math]
centrato nel punto
[math] x_0 [/math]
il polinomio seguente:
[math] \sum_{i=0}^{k} f^{(i)} (x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^i}{i!} [/math]

In particolare, quando
[math] x_0 = 0 [/math]
diremo che la formula di sopra è il polinomio di Mac-Laurin di ordine
[math] k [/math]
della funzione
[math] f [/math]
.

Tali sviluppi risultano particolarmente utili per approssimare localmente delle funzioni che, altrimenti sarebbero troppo complesse da calcolare/disegnare oppure che renderebbero troppo difficile lavorare con esse quando compaiono, per esempio, nel calcolo dei limiti.
In genere accade (con pochissime eccezioni) che più il grado
[math] k [/math]
è alto, più fedele è l'approssimazione della funzione
[math] f [/math]
con il polinomio di Taylor. Maggiori dettagli si possono reperire nel PDF sottostante.

Osservazione 1: Il polinomio di Taylor di ordine 1 della funzione
[math] f [/math]
centrato nel punto
[math] x_0 [/math]
non è altro che la retta tangente al grafico di
[math] f [/math]
nel punto
[math] x_0 [/math]
. Si può dire che essa è la retta che, in un intorno di
[math] x_0 [/math]
, approssima meglio la funzione
[math] f [/math]
.

Osservazione 2: Il polinomio di Taylor di grado
[math] k [/math]
associato ad una funzione polinomiale di grado
[math] k [/math]
non è altro che il polinomio stesso, per qualsiasi valore di
[math] x_0 [/math]
.

Esempi


Vediamo qualche esempio:
Sia data la funzione
[math] f(x) = e^x [/math]
. Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 centrato nel punto
[math] x_0 = 0[/math]
.
Osserviamo che la funzione
[math] f(x) [/math]
è ben nota per essere derivabile infinite volte e le derivate di tale funzione coincidono sempre con la funzione stessa! Pertanto è necessario calcolare tali derivate, fino all'ordine 4, in
[math] x=0 [/math]
. Ma a questo punto è chiaro che, essendo
[math] e^0 = 1 [/math]
, si ha:
[math] f^{(4)} (0) = f^{(3)} (0) = f^{(2)} (0) = f^{(1)} (0) = f(0) = e^0 = 1 [/math]

Ricordiamoci di dividere per il fattoriale dell'ordine della derivata! Otteniamo così il polinomio di Taylor della funzione
[math] f [/math]
centrato in
[math] x=0 [/math]
e di ordine 4:
[math] P_4(x) = 1+x+\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} [/math]

Tale polinomio si può anche "estendere" a gradi successivi applicando la formula vista nel paragrafo precedente.


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