Analisi serie di Taylor
Formula di Taylor con resto di Lagrange
f(x) = k=0∞ f(k)(x₀)k! (x-x₀)k + Ln(x)
Ln(x) = f(n+1)(c)(n+1)!(x-x₀)n+1 con c tra x₀ e x.
Se la funzione f ha derivata di ogni ordine si può scrivere la k=0∞ f(k)(x₀)k!(x-x₀)k.
Tale serie di Taylor per la funzione f (centrato in x₀).
Si accetta che per ogni x in un intervallo I Ln(x) → 0.
Ordine di A e sviluppo in serie di Taylor
Scriviamo lo sviluppo di Maclaurin all'origine per xex.
f(x) = 1
f'(0) = 1
f''(0) = 1
f'''(0) = 1
f(m)(0) = 1
Tn=0(x) = 1 + 1(x-0)1! + 1(x-0)22! + 1(x-0)33! + ... + 1(x-0)mm!
ex = k=0∞ xkk! + Ln(x) con c tra x₀ e x.
ex 1x > 0
ex 1x < 0
In ogni caso limitate e a monot altrimenti di seguire xn+1(n+1)! → 0 si nasce lim exn→∞ = lim n=k=0n→∞ nm→∞
Formula di Taylor con resto Lagrange
f(x) = f(k)(x0) / k! (x-x0)k + Ln(x)
Ln(x) = f(n+1)(c) / (n+1)! (x-x0)n+1 con c tra x0 e x.
Se la funzione f ha derivata di ogni ordine a, si può scrivere la k=0∞ f(k)(x0) / k! (x-x0)k.
Sviluppo di Taylor per la funzione f (centrato in x0).
Se accade che per ogni x in un intervallo I Ln(x) → 0 allora f si sviluppa in serie di Taylor.
Scriviamo lo sviluppo di Maclaurin al ordine m = 4 con resto di Lagrange.
f(x) = 1
f'(0) = 1
f''(0) = 1
f(3)(0) = 1
Tm=0(x) = 1 + 1(x-0)1 / 1! + 1(x-0)2 / 2! + 1(x-0)3 / 3! + 1(x-0)m / m!
lim Ln = lim f(x+1)(c) / (n+1)! dex 1 + k=0 +∞ Σ xk / k! x ∈ R
Serie notevoli
- sin x = k=0 +∞ Σ (-1)k x2k+1 / (2k+1)! = V ∈ ℂ
- cos x = k=0 +∞ Σ (-1)k x2k / (2k)! = V ∈ ℂ R
- log (1+x) = m=0 +∞ Σ (-1)m xm / m + n=0 +∞ Σ (-1)n xn / (n+1)
Un altro (1) + +∞ Σ (-1)n xn+1 / (n+1)m=0 +∞ Σ (-1)m x2m / (2m)! = 1
Funzioni trigonometriche e logaritmiche
- cosy (x) = n=0 +∞ Σ (-1)n x2n+1 α2n / (2n)! - X n=0 +∞ (-1)m x2m+1 α2m / (2m)! of k=0 +∞ Σ (-1)m α2m / (2m)! x
e = m=0 +∞ Σ +∞ Σ (n > 1) α soluzione log (1+x) ∑ n=0+∞ (-1)n+1 (α - 1)n = A con -- +∞ Σ {tg +∞ Σ } -- +∞ Σ (1-x)m=0 (-1)etxn=0(u, v)= (α, x) R = (1 1 2 n)! x +∞ Σ Rpag = multipla conversionn > 1 (s converga ) α
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