Serie di Laurent per il calcolo di residui di una sing. essenziale
Richiami sulle serie di potenze
∑m=0+∞ am (z - z₀)m ∈ ℂ, |z - z₀|
Serie di Taylor è inclusa in Laurent
f(z) = ∑m=0+∞ am (z - z₀)m, am = f(m)(z₀) / m!
Serie bilatera
Includono le potenze ∑m=-∞+∞ am (z - z₀)m ... + a-1 / (z-z₀)1 + a0 + a1(z - z₀) + 1/2 a2(z - z₀)2 + ...
Parte singolare Parte regolare |z - z₀| 2
La serie bilatera converge su una corona circolare perché ha problemi in z₀
f(z) = ∑m=-∞-1 am (z - z₀)m + ∑k=1+∞ a-k / (z - z₀)k = ∑k=1+∞ a-k wk
|w| 1*; |1 / (z - z₀)| 1* => |z - z₀| > 1 / R1* = R1
M = -K, K ≥ 1
w = 1 / (z - z₀)
La corona circolare: R1 ≤ |z - z₀| < R2
La somma delle serie bilatera è olomorfa nella corona CR1R2 = {/ z : 0 ≤ R1 ≤ |z - z₀| < R2 ≤ +∞ /}
Serie di Laurent per il calcolo di residui di una sing. essenziale
Richiami sulle serie di potenze
∑m=0+∞ am(z-z0)m am ∈ ℂ, |z-z0| < p raggio di convergenza
Serie di Taylor è inclusa in Laurent
f(z) = ∑m=0+∞ am(z-z0)m am = f(m)(z0)/m!
Serie bilatera
Includono le potenze ∑m=-∞+∞ am(z-z0)m ... + a-1/(z-z0)1 + a1/z-z0 + a0 + a1(z-z0) + 2![z-z0]2 + ...
Parte singolare Z(1) Parte regolare (2) |z-z0| < R2
La serie bilatera converge su una corona circolare poiché ha problemi in z0
(2) ∑m=-∞-1 am(z-z0)m = ∑k=1+∞ a-k/(z-z0)k == ∑k=1∞ a-kwk
|w| < R1*; 1/|z-z0| < R2* ⇒ |z-z0| > 1/R1* = R1
M = -K, K > 1
w = 1/z-z0
La corona circolare: R1 < |z-z0| < R2
La somma delle serie bilatera è olomorfa nella corona CR1, R2 = { z : 0 ≤ R1 < |z-z0| < R2 ≤ +∞ }
Teorema di Laurent
Se f è analitica su una corona ⇒ f: sviluppo in serie bilatera è
an = 1/2πi ∮γ f(z)/(z-z0)n+1 dz
Ricorda
- Olomorfa su palla ⇔ analitica (serie di potenze)
- Olomorfa su corona ⇔ serie bilatera
m = -1
a-1 = -1/2πi ∮γ f(z)/(z-z0) dz = 1/2πi ∮γ f(z) dz = res(f, z0)
Esempi
-
f(z) = e1/z, z0 = 0 → Singolarità essenziale
res(e1/z, 0) = 1
Mi ricordo che ew = Σm=0 1/m! wm ⇒ w = 1/z
g(t) = e1/z = Σm=0 1/m! 1/zm = + 1/z + ... + 1/z3 + 1/2 + 1/2! + 1
Parte singolare Parte regolare => res(e1/z, 0) = 1
-
f(z) = e1/z2 = Σm=0 1/m! 1/z2m - ... - 1/24 + 1/22 + 1
res(e1/z2, 0) = 0
-
3/2z
c = 2/3
res(3/2z, ∞) = 0 = res(3/2z, 0) = 3
res(1/2 1/z, 0) = 1
-
f(z) = 1/1-z = Σn=0 (1/z)(z2m+1)∞/0 1/2n+1 = 1/2[ - w/3 + 2/3 z2/5]
= 1/2[ - z2 / 3 + z4 / 5! ]
1/2πi ∮γ ... ∂/∂(x) ∂/∂(z)
1/2πi ...... res(c3nf(...)/5!) ∈ 0
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