Serie a termini positivi

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Serie a termini positivi ≥

Per le serie a termini positivi, ovvero con termine generale x 0, si hanno varie condizioni

n

sufficienti (non necessarie) che garantiscono la convergenza o la positiva divergenza della serie:

va osservato infatti che una serie a termini positivi può solo convergere o divergere positivamente,

essendo la successione S una successione monotona non decrescente.

k Sia

Criterio del confronto: +∞

X x n

n=0 ≤ ∈

una serie a termini positivi; supponiamo esista una successione y con x y per ogni n N

n n n

e tale per cui la serie +∞

X y

n

n=0

converga. Allora anche la serie +∞

X x n

n=0

converge.

Dimostrazione. Si osservi che anche la serie +∞

X y

n

n=0

è a termini positivi; ne segue che la successione k

X

0 =

S y

n

k n=0

0 ∈

≤ per ogni k essendo

è non decrescente e si ha S S N,

k k k

X

S = x .

k n

n=0

0 limite finito.

Dunque S ha limite finito, avendo S

k k Sia

Criterio del confronto asintotico: +∞

X x n

n=0

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