Luca Lussardi Appunti di Analisi I
Serie a termini positivi ≥
Per le serie a termini positivi, ovvero con termine generale xn ≥ 0, si hanno varie condizioni sufficienti (non necessarie) che garantiscono la convergenza o la positiva divergenza della serie:
Va osservato infatti che una serie a termini positivi può solo convergere o divergere positivamente, essendo la successione Sk una successione monotona non decrescente.
Criterio del confronto
Sia
∑n=0+∞ xn
una serie a termini positivi; supponiamo esista una successione yn con xn ≤ yn per ogni n ∈ N e tale per cui la serie
∑n=0+∞ yn
converga. Allora anche la serie
∑n=0+∞ xn
converge.
Dimostrazione. Si osservi che anche la serie
∑n=0+∞ yn
è a termini positivi; ne segue che la successione Sk
Sk = ∑n=0k yn ≤ Sk ∈ N
è non decrescente e si ha Sk ≤ Sk per ogni k, essendo
Sk = ∑n=0k xn.
Dunque Sk ha limite finito, avendo Sk limite finito.
Criterio del confronto asintotico
Sia
∑n=0+∞ xn
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