Serie a termini di segno qualunque

Luca Lussardi Appunti di analisi I

Serie a termini di segno

qualunque

Convergenza assoluta

Sia data una successione x ; si dice che la serie

n +∞

X x n

n=0

converge assolutamente se converge la serie +∞

X |x |.

n

n=0

È facile controllare che la convergenza assoluta implica quella semplice; il viceversa non è invece

vero, come uno dei prossimi esempi mostrerà.

Serie a termini di segno alterno

Per serie a termini di segno alterno si intende una serie del tipo

+∞

X n

(−1) x n

n=0

≥

dove x 0 per ogni n naturale. Lo studio della convergenza di una serie a termini di segno

n

alterno si avvale del seguente criterio ad hoc:

Sia data una serie a termini di segno alterno

Criterio di Leibniz: +∞

X n

(−1) x ;

n

n=0

se la successione x decresce e tende a 0 allora la serie data converge.

n

Dimostrazione. Si ha 2k

X n −

S = (−1) x x + x

2k+2 n 2k+1 2k+2

n=0

per cui la successione S decresce, dunque si ha

2k ∈

lim S = S [−∞, +∞).

2k

k→+∞

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