Scienza delle costruzioni - temi esame

Esercizi sulla meccanica dei solidi

Esercizio 1

Assegnato nel punto P di un corpo continuo C il seguente tensore della tensione, si determini il vettore della tensione sulla giacitura avente per normale n 1 2 1 [ ][ ] 3 3 3 σ 2 = + += ; n i j k2 3 3 t cm ij 26 26 26 1 3 4  versori degli assi cartesiani ortogonali .i, j, k x , y , z

Dal teorema di Cauchy si ottiene:

 12σ σ σ= + + = 2S n n n t cm nx xx x yx y zx z 26 24σ σ σ= + + = 2S n n n t cm ny xy x yy y zy z 26 24 σ σ σ= + + = 2S n n n t cm nz xz x yz y zz z 26

Esercizio 2

σ nel riferimento . Determinare il vettore della tensione E’ assegnato il tensore x , y , zij + + − = agente sul piano di equazione 2 x 2 y 3 z 4 0 1 2 3 [ ][ ]  σ 2= ;2 1 4 t cm ij  3 4 1 

Dalla geometria ricordiamo che il versore perpendicolare ad un piano di equazione n+ + + =ax by cz d 0 z ha la forma seguente na b c= + +n i j k2 2 2 2 2 2 2 2 2+ + + + + +a b c a b c a b c in cui x 1a b c== =; n ; ;n nyx z2 2 2 2 2 2 2 2 2+ + + + + +a b c a b c a b c

Si ha quindi: 2 2 3= = =n ; n ; nx y z17 17 17

 2 2 3 15= ⋅ + ⋅ + ⋅ =S 1 2 3 nx 17 17 17 17 2 2 3 18= ⋅ + ⋅ + ⋅ =S 2 1 4 ny 17 17 17 17 2 2 3 17 = ⋅ + ⋅ + ⋅ =S 3 4 1 nz 17 17 17 17

15 18 17= + + .S i j kn 17 17 17

Esercizio 3

Verificare se il seguente stato di tensione risulta equilibrato, nell’ipotesi di forze di volume nulle: ( )σ σ= + = −a x y ; ayxx xy σ σ= = − con = cost.>0aaz ; axyy xz ( )σ σ= + =a x z ; 0zz yz

Le equazioni indefinite di equilibrio, per forze di volume nulle, sono:

σ σ σ + + = ⇒ − + =a a 0 00xx , x yx , y zx , z σ σ σ+ + = ⇒ + + =0 00 0 0 xy , x yy , y zy , zσ σ σ+ + = ⇒ + + =- a a 00 0 xz , x yz , y zz , z

Poiché le equazioni indefinite di equilibrio sono verificate, lo stato di tensione assegnato risulta equilibrato.

Esercizio 4

Scomporre il seguente tensore della tensione nel tensore sferico e nel deviatore della tensione: 2 2 2 1 [ ][ ]  σ 2= ;t cm2 3 3 ij  1 3 4 

σ possiamo decomporlo in due parti: Dato un tensore ij0 dσ σ σ= + , σ , costituita dalla tensione normale e precisamente nella sua componente isotropa 0 media , (o tensore sferico):

( ) ( )σ σ σ σ σ σ+ + + +I1 0xx yy zz xx yy zzσσ σ σ δ0 = = = =tr , in componenti1 1 1 ijij3 3 3 3σ . Le componenti del deviatore con indici distinti coincidono e nel deviatore di tensione d con le componenti miste del tensore, cioè con le tensioni tangenziali, mentre le I σ componenti ad indici uguali sono uguali alla differenza della rispettiva componente e .3

 II σσ σ σ σ−0 0  xx xy xzσ σ σ  33 xx xy xz[ ]   II σσσ σ σ σ σ σ σ  + −= = 0 0 ij yx yy yz yx yy yz33  σ σ σ II  zx zy zz σσ σ σ σ −0 0  zx zy zz 33 

Quindi: −  2 2 1 3 0 0 1 2 1[ ] σ σ σ0 d= ++== 2 3 3 0 3 0 2 0 3ij ij ij 1 3 4 0 0 3 1 3 1 

Esercizio 5

Dato il seguente tensore della tensione, determinare la giacitura sulla quale il vettore della tensione è nullo.  0 1 1[ ]  σ = .1 0 1 ij  σ1 1 zz

Su una generica giacitura il vettore della tensione ha componenti 3

( ) σ σ σ = + + = +1 S n n n n nnx xx x yx y zx z y z( ) σ σ σ= + + = +2 S n n n n nny xy x yy y zy z x z( ) σ σ σ σ= + + = + +3 S n n n n n nnz xz x yz y zz z x y zz z

Imponiamo ora che ciascuna componente del vettore della tensione sia nulla, ossia = = = 0S S S nx ny nz e otteniamo quindi tre equazioni, che, unite alla condizione geometrica ( ) 2 2 2+ + =4 n n n 1,x y z σ , consentono di determinare en , n n .x y zzz

Dalla (1) e dalla (2) uguagliate a zero otteniamo = − = −e ,n n n nz y z x e sostituendo nella (3) uguagliata a zero, ( )σ= − =n 2 0.x zz =

Dobbiamo escludere la soluzione perché insieme alla (1) e alla (2) non soddisfa la n 0x condizione geometrica sui coseni direttori (4). Deve essere uguale a zero il termine ( )σ − = , che fornisce 2 0zz σ = .2zz

[ ]σσ ==Si noti che porre implica .2 Det 0zz ij= − = −e nella (4)Sostituendo n n n nx z y z1= = ±23 1 ;n nz z 3 e la soluzione finale è la seguente: 1 1 1= = = ±; .n n n;m mx y z3 3 3

I coseni direttori ottenuti indicano il versore della normale alla giacitura su cui è nullo il n= vettore della tensione ossia dove .S 0n 4

Esercizio 5

Determinare le tensioni principali e le direzioni principali della tensione del seguente tensore della tensione  a a a[ ]    Fσ = = >con .a a a a cost 0  ij 2  L a a 2 a 

L’equazione caratteristica σ σ σ3 2− + =-I II III 0σ σ σ ha coefficienti

σ σ σ= + + = 4I aσ xx yy zz

σ σ σ σ σ σ σ σ σ2 2 2 2= + + − − − = 2II aσ xx yy xx zz yy zz xy xz yz

 a a a[ ]      a aa aa a σ 3 3= = = − + = − + =a a 0 0aaIII Det Det a a a a       σ ij a a2 2a aa a      2a a a 

Quindi ( )σ σ σ2 2− + = .4 a 2 a 0

Le radici dell’equazione caratteristica sono    22   σ σ σ= + = − =; ; .a a 02 12 1   I II III22   

Le direzioni principali della tensione si ottengono da due qualsiasi delle tre equazioni del 2 2 2+ + = seguente sistema, associando ad esse la condizione sui coseni direttori n n n 1 :x y x

( )σ σ σ σ − + + =n n n 0xx x yx y zx z( )σ σ σ σ+ − + =n n n 0 xy x yy y zy z ( )σ σ σ σ+ + − =n n n 0 xz x yz y zz z

σ σ⇒e sostituendo a per trovare i coseni direttori della prima direzione principale. I

Scegliendo la prima e la seconda equazione del sistema e associando la condizione geometrica sui coseni direttori abbiamo: 5

  ( ) 2  σ − + + + = ⇒ + + + = -a n an an n an an0 1 2 02 1  xx Ix Iy Iz Ix Iy Iz2      ( )  2  + − + + = ⇒ − + + =an a a n an an an an0 1 2 02 1   I Iy Iz Ix Iy Izx 2    2 2 2 2 2 2+ + = ⇒ + + =n n n n n n1 1 Ix Iy Iz Ix Iy Iz

Risolviamo e otteniamo: 1 1 2= ± = ± = ±; ; ;n n nIx Iy Iz2 2 2 σ Procedendo in modo analogo determino , sostituendo nelle equazioni , en II II σ sostituendo .n III III

Esercizio 6

Determinare le tensioni e le direzioni principali della tensione del seguente tensore della tensione  1 2 0[ ]  t σ = − .2 1 0 .  ij 2 cm 0 0 0 

= lo stato di tensione è bi-assiale. Posso risolvere applicando il metodo Poiché III 0σ euristico, attraverso la determinazione delle radici dell’equazione secolare, o il metodo analitico-grafico del cerchio di Mohr.

I modo

σ σ σ− + =3 2I II III- 0

σ σ σ= = − =I II III0; 5; 0

σ σ σσ − =2 5 0

Le tre radici dell’equazione secolare sono σ σ σ2 2= = = −