Scienza delle costruzioni - analisi della tensione- parte 1

Teorema della divergenza

Corpo regolare lungo ^m̂∬_{∂B sup} (^û·^m̂)dA = ∭_{B esterno & tutto il corpo} (div·^u)dV(û = u · m̂)A ∈ Lim con u ∈ U∬_∂B (^·^m̂)dA = ∫_B divA (⌀A⌀⌀⌀⌀)dV

Identità differenziale

Div (A^T·M) = Div A·u + ∇u·A

Spostamento relativo infinitesimo

u = ∆^o + W ∆(x - o)(µ^u-µ^o) = W(x-o) ⇒ lim_x-→>(x-o) (µ^u-µ^o) = ^W/_ₗ₂Lu

Analisi della tensione

Definiamo un sistema di forze

• Modello di tensione oltre tensore Cauchy
• Assiomi di Eulero (Equilibrio)
• Teorema di Cauchy, postulati.

Riferimento sistema di forze

• Assegniamo un corpo
• s - identificherei con una regione b D schegge e bistotto di ⅇ
• ^Puunti, materiae p r che definire non il corpo. (p. e p i v identificato con qui punti x → y ∈ ⅇ)
• → ^⊣⊣⊣⊣⊣o identificato con ∫ Parate del corpo: ^PC B front. di ∂LP

La tensione che nasce se forti dei punti _p, osserva rallentave su deformazione. Forze definiereziti ionica sfeercase agenti suo settore B.

• Forze di volonte b(x) ⇒ forze esterne esercitate a distanza, la forze disponibile dalle persone. F = ∫_b b(x) dV [F·L^-3]

Teorema della divergenza corpo regolare lungo ^mA_superficie∬(^u·^m) dA = _volume∭B (div·^u) dV in uno di volume A ∈ Lim con u ∈ U∬D_B(^A·^m) dA = ∫_BdivA (orrario) dV

Identità di differenza

Div (A^T·M) = Div A·^u + ∇u·A

Spostamento relativo infinitesimo

μ² = μ^o + W Δ(x-o)μ^o - μ^o = W(χ-xo) ⇒ lim_x→⋅(x-⋅) μⁿ - μ^o= W = ∇μ

Analisi della tensione

Definiamo un sistema di pareti

• Modello di tensione oltre Televzo Cauchy
• Assiomi di Eulezo Equilibriuio

Riferimento sistemi di forze

• Assegno un corpo B
• → punti materia e P che definiscono il corpo
• → sui ri identifichuma e punti x_p (E = B) → si devono identificare con i punti x parte del corpo - ^{front. di} PC B C → ↓ - front. di Pb
• → vuoi - anche una frontiera ∂PP noi · voiziono la sua configurazione per affetto di corpi esterni. (Tensione)
• → la TENSIONE che nasce ∓ le porta dei punti P, osservablesstraverso de deformazione

Per defimire la TENZIONE Classificata le Forze Egenti sul Corpo B

• Forze di Volume b(x) → forze esterne esercitate a distanza la forzadippende dalle persone. F= ∫_B b(x) dV [F⋅L^-3]
• Forze di superfici: forze di contatto esterne, esercitate su parte o tutta la superficie del corpo. F = ∫_∂B S(x) dA
• Forze di contatto (interne): forze che si esercitano tra le varie parti del corpo attraverso le superfici di contatto

Modello di tensione alla Eulero-Cauchy

Si basa sul principio delle tensioni di Eulero (1750) e sul principio della tensione di Cauchy (1822). Considera: un corpo continuo e deformabile. Il principio delle azioni parla che...

Il principio della tensione di Cauchy

• a. Mi dà un vettor tensione in x
• b. Con H(A) copre di sfzco; si sovrappongono l'assenza di questo

IL VETTOR TENSIONE DIPENDE DALLA NORMALE n̂ E NON DALLA NATURA DELLA SUPERFICIE. Se faccio passare per x tante superficie orientate che emanano tutte le tensioni hanno funzione di continuità...

t_m(x) = [t](n̂, x)

Vettor Tensione \( t_m(\mathbf{x}) \) si dice tensione del punto x relativa alla giacitura diretta m̂, rappresenta la misura dell'azione locale che a deformazione avvenuta, la parte ⁺ associatavia ⁻, nel punto \( x \) per contatto attraverso \( \Pi \).

Decomposizione di \( t_m(\mathbf{x}) \)

• \(\hat{n} \) e \(\hat{t}_n\) sono le componenti speciali di tensione
• \(\hat{n}\) = vettor tensione normale, ottogonale al piano \( \Pi \)
• \( \mathbf{t}_n \cdot \mathbf{m̂} = \hat{n} \hat{n\cdot\hat{n}} \small(opposta ~del ~segno)\) = direzione della superficie
• → \(\hat{t}_n\) = vettor tensione tangenziale al piano \( \Pi \) \(tong\cdot\hat{t}_n \mathbf{t}_n \cdot \mathbf{I} \)