Scienza delle Costruzioni

Scienza delle costruzioni

V volume

S superficie

Su superficie vincolata

Idealizzo i corpi reali come corpi continui.

Con questo ipotesi va senso utilizzare gli strumenti dell'analisi.

Convenzioni utilizzate

f: [F] / [L]² → forze superficiali dipendenti da posizione e tempo f(x,t)

F: [F] / [L]³ → forze di volume F(x,t)

Δ: [L] → spostamento relativo di su Δ(x,t)

Δ: [L] → spostamento relativo di S Δ(x,t)

Є: [F] / [L]² → tensore di deformazione Є(x,t)

ϕ: [F] / [L]² → tensore degli sforzi ϕ(x,t)

ϕ sarà del secondo ordine simmetrico e rappresentante una pressione.

Limiti

Definiamo i limiti:

lim(∆F/∆Σ) → δμ

lim(∆H/∆Σ) → φ

Assunti validi quando il corpo è un continuo di Cauchy.

Legge di minor Classe/ σ min "assumere*, & chiudere punto, s di rispetto elettivo"

Scienza delle costruzioni

V: volume

S: superficie

Su: superficie vincolata

Idealizzo i corpi reali come corpi continui.

Con questa ipotesi va sensato utilizzare gli strumenti dell'analisi.

Convenzioni utilizzate

f: [F] / [L]² ➔ forze superficiali dipendenti da posizione e tempo f(x, t)

F: [F] / [L]³ ➔ forze di volume F(x, t)

Δ: [L]¹ ➔ spostamento relativo di Su Δ(x, t)

Δ: [L]¹ ➔ spostamento relativo di S Δ(x, t)

Ξ: [L] / [L] ➔ tensore di deformazione Ξ(x, t)

Ψ: [F] / [L]² ➔ tensore degli sforzi Ψ(x, t)

Ψ sarà del secondo ordine simmetrico e rappresentante una pressione.

ΔF: forze agenti su ΔΣ

ΔH: momento

μ_x: vettore uscente di ΔΣ

Definizione dei limiti

Definiamo i limiti:

lim ΔΣ→0 ΔF / ΔΣ = Ψ_μ

lim ΔΣ→0 ΔH / ΔΣ = φ

Assunta validi questi limiti. Diciamo che il corpo è un continuo di Cauchy.

Legge di equilibrio globale a Mo (dimensionale "cutting") si continua durante S di contorno.

Dipende solo dalla normale n_i (Th di Cauchy) e lo chiamiamo vettore sforzo.

Considero tetraedro.

Sappiamo essere valida la relazione: dΣ_i = dΣ_d n_i

Imponendo le condizioni di equilibrio si ottiene:

Σ_i = σ₁ n₁ + σ₂ n₂ + σ₃ n₃

Relazione di Cauchy.

σ_i è definito da 3 vettori, 9 componenti scalari:

σ_X = I ⊗ (σ₁, σ₂, σ₃)

Sarà simmetrico e lo chiamato δ.

Bilancio di rotazioni

Altra notazione:

σ' = [τ_YX τ_YY τ_YZ]

Ora ipotizziamo la situazione in cui _tab || n_a:

_tab = _ξ n_a = S n_a

S sarà un autovalore di _ξ con n_a autovettore.

(_ξ - S I)_n = 0

_S, _S, _S le soluzioni di (*) saranno al più tre le le chiameremo:

S_I, S_II, S_III

Stato di sforzo

• Stato di sforzo generico:

S_I, S_II, S_III distinti

• Stato di sforzo cilindrico

S_I = S_II S_II ≠ S_I

• Stato di sforzo sferico:

S_I = S_II = S_III

• Stato di sforzo piano:

S_III = φ

Stato di sforzo piano

σ = _nij σ _ijn_i

(s - S I) D D_B = 0 → - S³I₃S² - I₂S + I₁ = 0

I = σ₁₁ + σ₂₂

I₂ = σ₁₁ σ₂₂ - σ²₁₂

I₃ = 0

S⁄II = S²I₁

S₁ = Φ ⇔ S (S²I₂S₁I₁) = 0

S_r = I₁ + √(I¹₂ + 4 I ₂)⁄2

S_II = ( σ₁₁ + σ₂₂⁄2 ) + √( ( σ₁₁ - σ₂₂⁄2 ) + τ²₁₂ )

Cerchio di Mohr

Direzione generica.

Normale a una generica.

Direzione (coo e nel cosmin).

Tangente alla generica.

Chiamiamo:

&sigma - C = cos Φ

S = -sin Φ

Saranno che:

σ-_t   τ_t= Nx_yNyx_yCxyNy_yNyy_yCyCos_ySy