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Fisica 1 Meccanica

Argomenti

• Cinematica
• Le forze
• Il lavoro
• Conservazione dell'energia
• Sistemi di particelle
• Gli urti
• Moto rotazionale
• Momento delle forze
• La gravitazione

Moto in una dimensione

Velocità è la variazione di posizione tra due punti, in un dato intervallo di tempo. Indicando con r lo spostamento e con t il tempo, consideriamo l'equazione: Δ = Δr / Δt. Dimensionalmente, la velocità viene espressa in termini di m/s. Essa indica la velocità media. Non dipende da nessuna accelerazione, ma solo dallo spostamento e dal tempo. Si ricavano anche le formule inverse di r e t. Δt = t₂ - t₁, Δr = r₂ - r₁. La velocità media è molto indicativa e diventa più precisa rendendo infinitesimale la variazione del tempo. Riducendo il periodo considerato, la misurazione della velocità risulta più accurata. Calcoliamo quindi il limite considerando un tempo infinitesimale, per rendere il vettore r (vettore dal punto d'origine alla particella considerata) una retta tangente alla traiettoria considerata. v = lim(Δr / Δt) con Δt → 0. La direzione di v è sempre tangente al percorso della particella. L'equazione considerata ricorda molto la definizione matematica della derivata. Possiamo quindi considerare, con la notazione di Leibniz, l'equazione: v = dr/dt. Ovvero la derivata di r rispetto al tempo. NB: r è un vettore! Per derivare un vettore, si derivano le singole componenti e si sommano.

Accelerazione La velocità di una particella, essendo un vettore, è spesso variabile in direzione, verso e modulo. Questo fenomeno è detto accelerazione. Definiamo l'accelerazione media come un vettore tramite la formula: a = Δv / Δt. La direzione dell'accelerazione è la stessa della velocità. Dimensionalmente, viene espressa in termini di m/s². Come per la velocità, l'accelerazione istantanea si ottiene con l'uso dell'accezione di limite: a = lim(Δv / Δt) con Δt → 0. E, di conseguenza, vale che: a = dv/dt.

Moto uniformemente accelerato

In questo caso l'accelerazione è una costante; l'accelerazione media e istantanea coincidono e possiamo quindi scrivere, rispetto alla componente in x della velocità: v = v₀ + a_xt. Questo risultato ci permette di conoscere la velocità in ogni momento. Questa equazione graficamente è una retta con coefficiente angolare a_x. Risolvendo rispetto a x, e considerando un tempo da 0 a t, l'equazione diventa: x = x₀ + v₀t + 1/2 a_xt². Questa formula permette di conoscere la posizione in qualsiasi momento.

Corpi in caduta libera

È il più comune esempio di moto uniformemente accelerato. Un corpo cade liberamente da un’altezza prefissata verso la superficie terrestre; nel nostro caso, verrà trascurata la forza d’attrito generata dall’aria. In queste condizioni, tutti i corpi, senza riguardo della loro massa o dimensione, cadono sottoposti alla stessa accelerazione: l'accelerazione gravitazionale g = 9,81 m/s². Questa non è una vera e propria costante perché varia dalla distanza dal centro della terra. Se l’altezza di inizio della caduta è modesta rispetto al raggio terrestre (6.400 km), allora possiamo utilizzarla come costante. In generale, indipendentemente dal fatto che la particella stia salendo o scendendo, è sempre soggetta all’accelerazione gravitazionale verso il basso. Per il moto in caduta libera, valgono ancora le equazioni del moto uniformemente accelerato, che subiscono però una variazione: v = v₀ - gt. Questa equazione permette di trovare la velocità in qualsiasi istante. x = x₀ + v₀t - 1/2 gt². Questa equazione indica la posizione della particella in un dato tempo t.

Moto in due e tre dimensioni

Moto uniformemente accelerato in due tre dimensioni Consideriamo ora una particella che si muove in due o tre dimensioni, a velocità costante. Accelerando rimane invariata in modulo, verso e direzione ed è quindi rappresentabile con un vettore a. Introduciamo anche qua la nozione di vettore posizione r: r = r₀ + v₀t + 1/2 at². La nozione di velocità media diventerà: v = Δr / Δt considerando r un vettore. Vale lo stesso per la velocità istantanea e l’accelerazione. Generalmente, si estende il concetto di moto uniformemente accelerato anche in più dimensioni.

Moto del proiettile

Un esempio comune del moto in più dimensioni è dato dal moto del proiettile, scagliato in una certa direzione, senza tener conto dell’attrito dell’aria. La velocità del proiettile v è uguale a zero. Considerando un angolo di inclinazione θ, possiamo riscrivere le componenti della velocità come: v_x = v₀ cos θ, v_y = v₀ sin θ - gt. NB. L’accelerazione gravitazionale agisce solo sulla componente y. Il modulo del vettore velocità è dato dalla formula classica: |v| = √(v_x² + v_y²). Mentre la sua direzione è data da: tan θ = v_y / v_x. Il cui angolo considerato è quello formato dal vettore velocità con il piano orizzontale. Con lo stesso ragionamento, si vengono a modificare anche le componenti del vettore posizione: x = x₀ + v_0xt, y = y₀ + v_0yt - 1/2 gt². Si può definire anche un’equazione per calcolare la gittata, ovvero il percorso seguito dal proiettile. È lo stesso concetto della traiettoria nel moto unidimensionale. È una parabola data dall’equazione: y = x tan θ - (g / (2(v₀ cos θ)²)) x². La gittata è massima per θ = 45°.

Le forze

La natura opera attraverso quattro tipi di forze. Quelle che consideriamo noi sono due: la forza gravitazionale e le forze elettromagnetiche (tensione, attrito…). Massa: Proprietà di un corpo di opporsi alle variazioni del suo stato di moto.

Le leggi di Newton

Prima legge di Newton

Consideriamo un corpo su cui agisce una forza netta nulla; se il corpo è a riposo, rimane tale. Se è invece in moto, esso continuerà a procedere con velocità vettoriale costante. Una forza netta nulla implica un’accelerazione nulla. La naturale tendenza dei corpi di mantenere il loro stato di quiete o moto è chiamata inerzia.

Seconda legge di Newton

La somma di tutte le forze agenti su un corpo, sono date dalla moltiplicazione tra la massa del corpo e la sua accelerazione: ∑F = ma. Nel sistema internazionale, la forza si misura in newton: 1 N = 1 kg·m/s².

Terza legge di Newton

A un'azione è sempre opposta un'uguale reazione: ovvero, le azioni vicendevoli di due corpi l'uno sull'altro sono sempre uguali e dirette verso parti opposte. È il principio di azione-reazione. Spingendo un corpo abbiamo la nostra spinta rivolta verso il corpo, e la spinta “di reazione” del corpo su di noi. Quest’ultima è uguale in modulo alla nostra spinta, con direzione contraria (la forza è una grandezza vettoriale). Un altro esempio è un libro appoggiato su un tavolo. Sul tavolo grava la forza peso del libro (P = mg), che sarà corrisposta alla legge che il tavolo esercita sul libro per sostenerlo.

Il peso

Il peso di un corpo è la forza gravitazionale esercitata su di esso. È una grandezza vettoriale rivolta sempre verso il suolo. È definita come: P = mg con g vettore. Essendo dipendente dalla forza gravitazionale, il peso di un corpo è nullo in parti dello spazio la cui forza trascurabile è assente.

Le forze di attrito

Sono forze vettoriali che si manifestano ogni qualvolta c’è un rotolamento, strisciamento o contatto tra due corpi. Agiscono sempre in direzione opposta alla forza applicata per provocare lo spostamento del corpo.

Attrito statico e dinamico

Con N forza normale. L’attrito è quindi proporzionale alla forza normale: f_s ≤ μ_sN dove μ_s indica il coefficiente statico di attrito. È un valore adimensionale tabellato. L’attrito non può essere maggiore della forza esercitata all’esterno. Quando entra in gioco una forza F che sposta un corpo lungo una superficie, ad esempio, essa viene bilanciata da f_s, finché questa non raggiunge una quota massima. Se questa quota è inferiore ad F, allora il corpo inizierà a scivolare sul piano. Per permettere una velocità costante, entra in gioco una seconda forza, detta attrito dinamico: f_d = μ_dN.

Dinamica del moto circolare uniforme

Supponiamo un corpo che si muove a velocità costante lungo una traiettoria di raggio r circolare con velocità v costante. Allora vi sarà una forza centripeta rivolta verso il centro: F_c = -mv²/r con u versore del raggio. È un vettore. Stando alla seconda legge di Newton, F_c = ma = mv²/r. La forza centripeta è generata da un fattore esterno, e genera un cambiamento nella direzione della velocità. Se viene a mancare, allora il corpo prosegue il suo moto rettilineo uniforme. Se il corpo, in traiettoria circolare, è collegato al centro da una fune inestensibile, allora su di essa agirà una forza T (tensione) diretta verso il centro.

Il lavoro

Il lavoro è l'energia scambiata tra due sistemi quando avviene uno spostamento attraverso l'azione di una forza, o una risultante di forze, che ha una componente non nulla nella direzione dello spostamento. Consideriamo una forza F che agisce su un corpo orizzontalmente, in direzione del suo moto per una distanza s. In questo caso, si definisce lavoro (L) come: L = F · s. È una grandezza scalare. Consideriamo ora il caso in cui F agisca ancora in direzione del moto ma non allineata all’asse y, rappresentato dallo spostamento, formando un angolo θ. Definiamo lavoro come: L = F · s · cos θ. È una grandezza scalare. Il lavoro può esser positivo, negativo o nullo:

• L = 0 se θ = 90°
• L < 0 se 90° < θ < 180°
• L > 0 se 0° < θ < 90°

N.B. Se su un corpo agiscono più forze, allora il lavoro di ciascuna forza deve essere calcolato separatamente.