Schemi matematica I

Definizioni, teoremi e dimostrazioni

Prodotto scalare

Il prodotto scalare è il prodotto fra la norma di v₂ per la proiezione ortogonale di v₁ su v₂.

• Positivo se α < 90°
• Negativo se α > 90°
• Nullo se α = 90°

|u| |v| cos α = u₁v₁ + u₂v₂

Proprietà

λ(u₁,u₂) = (λu₁,λu₂)

u,v = 0 solo per il vettore nullo

(u₁,u₂) + (v₁,v₂) = (u₁ + v₁,u₂ + v₂)

(u,v) + (z,w) = (u + z,v + w)

Prodotto vettoriale

Operazione che a due vettori ne associa un terzo ortogonale ad entrambi; questo come l'area del parallelogramma.

u x v = u₂v₃ - u₃v₂ - u₁v₃ u₁v₂ - u₂v₁

Proprietà

λu x v = 0

u x v = -λ(u x v) = -u x v

u x (v + u) = u x v + u x w

v x v = 0

|u x v| = |u| |v| | sin α

Dipendenza lineare

Due vettori si dicono dipendenti se esiste una combinazione lineare non a coefficienti nulli che dia come risultato 0.

Vettori nel piano: se due vettori sono paralleli.

Nel piano: se due vettori sono complanari.

Definizioni, teoremi e dimostrazioni

Prodotto scalare

Il prodotto scalare è il prodotto fra la norma di ₁ per la proiezione ortogonale di ₂ su ₁.

• Positivo <> < 90°
• Negativo <> > 90°
• Nullo <> = 90°

< , > + = ₁₁ + ₂₂

( + ,) = , + ,

(,) = (,)

(,) = (,)

(,) > 0 se ≠ 0

Prodotto vettoriale

Operazione che a due vettori nel lascia un terzo ortogonale ad entrambi, questo come l'area del parallelogramma.

× = × = -

Proprietà

× = 0

= -

( × (+) = × +

× = - ×

Dipendenza lineare

Due vettori si dicono dipendenti se esiste una combinazione lineare non a coefficienti nulli che dia come risultato 0.

Nel piano ╼ se due vettori sono paralleli.

Nello spazio ╼ se tre vettori sono complanari.

Combinazione lineare

Sia V un sottospazio vettoriale su un campo K, e siano v₁, v₂, ... , v_n elementi di V, si dice combinazione lineare:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n

Base

Insieme di vettori in E² o E³ linearmente indipendenti con i quali si ottengono tutti gli altri vettori.

cos θ sin θ

Rette nel piano

Una retta è caratterizzata da un punto e una direzione nelle equazioni parametriche:

x = x₀ + λd_x

y = y₀ + λd_y

Il vettore d₁ rappresenta la direzione della retta e il punto x₀, y₀ è un punto per cui la retta passa mentre nelle equazioni cartesiane:

μ₁(x-x₀) + μ₂(y-y₀) = 0

Il vettore ν rappresenta la direzione ortogonale alla retta.

Coefficiente angolare rapporto tra le ordinate e le ascisse e che come risultato dà la tangente dell'angolo formato tra la retta e l'asse x.

m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Rette e piani nello spazio

Per trovare un'equazione cartesiana di un piano avendo tre punti, devo prima trovare due vettori collegando i punti, dopo di che con il prodotto vettoriale trovo un vettore ortogonale. Gli altri due che invece sono componenti del vettore fungerà da direzione ortogonale nella formula dell'equazione cartesiana.

Piano con P₁, P₂, P₃

P₁₁, P₂₂, P₃₃

α(x-x₀) + β(y-y₀) + γ(z-z₀) = 0

Equazione parametrica

x = x₀ + t

y = y₀ + t

z = z₀ + t

Sistemi lineari

Equazione lineare a n incognite:

a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n = b

Dove le a e b sono numeri reali mentre le x sono le incognite.

Soluzione → una n-upla di numeri reali (h₁, h₂, ..., h_n) è soluzione dell'equazione se verifica:

a₁h₁ + a₂h₂ + a₃h₃ + ... + a_nh_n = b

Sistema 2 equazioni e 3 incognite

• Piani paralleli → 0 soluzioni
• Piani incidenti → ∞² soluzioni
• Piani coincidenti → ∞² soluzioni

Sistema di equazioni e incognite (3 rette)

• Rette coincidenti → soluzioni infinite
• Rette incidenti → soluzione unica
• Nessun punto in comune → nessuna soluzione

Un sistema può essere compatibile se ammette soluzioni, incompatibile se non ammette soluzioni.

Matrice

Una matrice m×n (m righe e n colonne) è una tabella di numeri reali (antecenti) / coefficienti numerici del sistema.

Teorema Rouché-Capelli

Un sistema di m equazioni e n incognite è compatibile solo se rango A = rango Ab.

Rango = numero di righe o colonne indipendenti.

Sistema m equazioni n incognite: rango A = rango Ab → sistema compatibile.

Sistema incompatibile rango n → 1 soluzione rango n

Determinante

Geometricamente, il determinante è il volume del parallelepipedo avente come lati 3 vettori.

Analogamente il volume si può scrivere anche con il prodotto misto.

⟨u, v, w⟩ = Volume(...) = volume

Il determinante è quel numero che si ottiene sommando elementi di una riga o una colonna per il loro complemento algebrico.

Il rango di una matrice è l'ordine del più grande minore della matrice con determinante diverso da 0.

Proprietà

• Determinante nullo se ci sono due righe o colonne uguali
• Determinante uguale se addirittura più di una colonna ne siamo un'altra moltiplicata per una scalare
• Determinante inverso se scambio due righe.

Matrice identità

Quella matrice diagonale che ha tutti gli elementi diagonali uguali a uno.

Matrice inversa

Data una matrice quadrata con det diverso da zero si chiama inversa quella matrice che moltiplicata per la matrice originale restituisce la matrice identità.

Matrice trasposta

Quella matrice nxm ottenuta scambiando righe e colonne.

Proprietà

detA = detA^T

(A^-1)^T = A^-1T

Valori propri

Sono i valori λ che sono soluzioni di det(A-λI) = 0.

Funzione

"Regola che ad ogni elemento di A associa al più un elemento di B".

Funzione limitata - una funzione si dice limitata se esiste m tale che -m