Risposte esame orale, prof. Muracchini

Cinematica del punto P

Relativamente un corpo funzione che descrive il suo moto. OP = OP(t) dove O è l'origine di un dato assegno.

x₁ = x₁(t) x₂ = x₂(t) x₃ = x₃(t) ≡ x_i = x_i(t) i = 1, 2, 3

Equazioni parametriche delle curve y (traiettoria) di P.

Individuando s (ascissa curvilinea la) per OP = OP(s) dove s è la lunghezza dell'arco di curva y◊ O^P e s = s(t) (funzione valore) → OP = OP(s(t)) da cui risic ar?

Velocità scalare istantanea di P v(t) = ds/dt = ṡ

Accelerazione^a(t) = v'(t) = d²s/dt² = d

Grandezze vettoriali

Velocità vettoriale istantanea di P = ū(t) = dρ/dt = ρ̇

Accelerazione ū(t) = ā(t) = dū/dt = d²ρ/dt² = ρ̈

Esercizi

OP(t) = x₁(t) c_1 + x₂(t) c̄_2 + x₃(t) c̄_3

ū(t) = ẋ₁(t) c_1 + ẋ₂(t) c_2 + ẋ₃(t) c̄_3

ā(t) = ẍ₁(t) c_1 + ẍ₂(t) c̄_2 + ẍ₃(t) c̄_3 = ẍ_i(t) c_̄i 1 ≤ i ≤ 3 i = 1, 2, 3 1 ≤ i ≤ 3

Rappresentazione intrinseca di ū e ā

ū(t) = ṡ ṫ

ā(t) = ṡ̇ ṫ + ͉ ṡ²/ρ ̂

Cinematica del punto P

Relativamente un corpo. Funzione che descrive il suo moto. OP = OP(t) dove O è l’origine di un dato segmento.

x₁ = x₁(t) x₂ = x₂(t) x₃ = x₃(t)

OP = OP(t) ≡ xᵢ = Xᵢ(t) x = 1, 2, 3

Equazioni parametriche delle curve y (traiettoria) di P.

xᵢ = Xᵢ(s) i = 1, 2, 3

Introducendo s (ascissa curvilinea) OP = OP(s) dove s è la lunghezza dell’arco di curve y D^b P e ∆ = ∆(t) (funzione scalare)

Legge oraria del moto → OP = OP(b(t)) da cui ricavo

Velocità scalare istantanea di P ϱ = b(t) = ^dϱ/_dt = ṡ

Accelerazione a(t) = v̇(t) = ^d²ϱ/_dt² = ¨ϱ

Grandezze vettoriali

Velocità vettoriale istantanea di P = ṽ(t) = ^dp/_dt = ṗ

Accelerazione = ᾶ(t) = v̇(t) = ^dṽ/_dt = ^d²p/_dt² = ṗ̇

Esprimo OP(t) = x₁(t) ĉ₁ + x₂(t) ĉ₂ + x₃(t) ĉ₃

→ ṽ(t) = ẋ₁(t) ĉ₁ + ẋ₂(t) ĉ₂ + ẋ₃(t) ĉ₃ = X ̇ᵢ(t) ĉᵢ ^{1 ≤ i ≤ 3}

--> ᾶ(t) = ẍ₀(t) ĉ₁ + ẍ₁(t) ĉ₂ + ẍₐ(t) ĉ₃ = Ẍi(t) Êi ^{1 ≤ i ≤ 3}

Rappresentazione intrinseca

Di: → ṽ e ᾶ:

ṽ(t) = ṡ t̂, a(t) = ṡ̇ t̂ + ^ϱ̇²/__Ϸ ŋ̂

• Deve _t = _dP / _ds = versore tangente
• E _n = β ( _d²P / _ds² )^∘
• _t = acc. tangenziale
• _n = acc. centrifuga

Term. intrinseci _I, ^{∘∘∘∘∘∘∘∘ ⌣ ^^{}a_b c = ^{∘∘∘∘∘∘⌣}...

Se le traiettorie di P giace su un piano (nato piano) conviene assumere le coordinate polari, ρ e θ:

OP = ρ û

û = cosθ ĉ₁ + senθ ĉ₂

ĥ = -senθ ĉ₁ + cosθ ĉ₂

v̇_P = _dρ / _dt (ρ û)

v̇_P = ρ^∘ .. . . â_P = ρ^∘∘ û . . â_P = ρ^∘ û + ρ^∘∘

Moti centrali

(e' un tipo di moto piano)

Definizione velocità areolarea = ¹/₂ p² ẋ̇ → Ã = ^dA/_dt

A(t) = aree spazzate dal vettore OP

à = cost ↔ Ã̇ = 0 = ¹/₂ (2୮ pẋ̇ +

Nel moto centrale: = 0

a_p ≠ 0

O e' detto centro del moto, e fissi

OP ∧ = 0

d/dt (OP ∧ = {\Ο} = OP ∧ Ã = 0

vlil dis che OP ∧ ̆e k costante - k = 0 moto piano generale primo dirett lungo OP

^k/_v = p²

Demostrazione: Ã = ¹/₂ p²ẋ̇ = cost

p² P = p(ɵ(t))

dp/dɵ = ⍴

d(1/p)p² d²(1/p)^c2/p4

Formula di Binet

Cinematica del corpo rigido

Si dice corpo rigido un insieme C di più tale che la distanza tra 2 qualsiasi di essi non vari nel tempo; |PQ| = d = costante ∀ P, Q ∈ C.

Studiare il moto di un C ≡ studiare il moto di Σ∗(Ω, y