Risoluzione approssimata delle equazioni

1. Risoluzione approssimata delle equazioni

1.1 Successioni ricorsive

→ ∈ Definizione 1.1 Sia f : (a, b) (a, b), x ∈ (a, b). La successione definita ponendo 0( ∈ x (a, b), 0 (∗) ∀n ∈ x = f (x ) N n+1 n si dice successione ricorsiva di funzione generatrice f.

Lo scopo di questo paragrafo è di dare una procedura che permetta la determinazione dell’eventuale limite della successione.

∈ Definizione 1.2 Se x̄ ∈ (a, b) è tale che f (x̄) = x̄ allora si dice un punto fisso per la funzione f.

→ ∈ Teorema 1.1 Sia f : (a, b) (a, b), x ∈ (a, b), e supponiamo f continua in (a, b). Se la successione 0(*) è convergente allora il suo limite è un punto fisso di f.

Dim. È sufficiente passare al limite nella legge ricorsiva che definisce la successione.

→ ≤ |f − ≤ Teorema 1.2 Sia f : [a, b] [a, b] e supponiamo che esiste 0 k < 1 tale che (x ) f (x )| 1 2 − |, ∀x ∈ k|x x , x [a, b]. Allora la successione (*) è convergente. 1 2 1 2

Dim. Usando la legge di definizione si ha: n|x − | |f − ≤ − | ≤ ≤ |x − | → x = (x ) f (x )| k|x x . . . k x 0 n+1 n n n−1 n n−1 1 0

e quindi |x − | ≤ |x − | |x − | · · · |x − |x x + x + + x n+p n n+p n+p−1 n+p−1 n+p−2 n+1 n+

∞ X n+p−1 n+p−2 p j ≤ · · · − | |x − |(k + k + + k )|x x < k x 1 0 1 0 j=p

pk |x − | → → = x 0, p +∞ 1 0−1 k

La successione è quindi convergente perché verifica la condizione di Cauchy.

− Data la successione (*) consideriamo la funzione φ(t) = f (t) t. Il segno della funzione φ può dare informazioni sull’eventuale monotonia della successione da studiare. Infatti, φ(a ) = n− − ∀n {a }, f (a ) a = a a e quindi se φ(a ) > 0, la successione n = 1, 2, . . . , è crescente n n n+1 n n n

∀n {a }, mentre se se φ(a ) < 0, la successione n = 1, 2, . . . , è decrescente. n n

G. Di Fazio

Esempio 1.1

Studiamo la successione ricorsiva definita ponendo 1  x = ,  0  2 1 2 ∀n ∈ x = 1 + x  N  n+1 n 2 1 1 2 2 2 − ∀t ∈

In questo caso si ha: f (t) = 1 + t e quindi φ(t) = 1 + t t > 0, e quindi la successione R2 {x }, è monotona crescente perciò regolare. Supponiamo che la successione n = 1, 2, . . . , sia n convergente. Siccome la funzione f è continua, il limite della successione