Richiami utili per Scienza delle Costruzioni

Spostamento di un corpo nello spazio

Un corpo può traslare secondo 3 direzioni (x, y, z) e ruotare attorno a 3 assi, quindi lo spostamento di un punto generico è descritto da 3 componenti di traslazione U, V, W, e 3 componenti di rotazione θ_x, θ_y, θ_z; si dice che un corpo ha 6 gradi di libertà (GDL).

Nel piano i GDL sono 3 ovvero, 2 componenti di traslazione U (orizzontale), V (verticale) e una componente di rotazione θ.

Affinché un corpo sia isostatico (cioè che non ammette spostamenti) occorre impedire i suoi 3 GDL; per impedire i GDL abbiamo a disposizione i vincoli:

• Vincolo semplice = perché impedisce una componente di spostamento si dice che il vincolo ha una molteplicità di vincolo 1 (1 MDV)
• Vincoli doppi = 2 (MDV)
• Vincolo triplo = 3 (MDV)

Avremo quindi la seguente situazione.

MDV = GDL —► La struttura risulta apparentemente isostatica.

MDV > GDL —► La struttura risulta apparentemente una o più volte iperstatica.

MDV < GDL —► La struttura risulta una o più volte labile.

Spostamento di un corpo nello spazio

Un corpo può traslare secondo 3 direzioni (X, Y, Z) e ruotare intorno ai 3 assi. Quindi lo spostamento di un punto generico è descritto da 3 componenti di traslazione U, V, W, e 3 componenti di rotazione Θ_x, Θ_y, Θ_z. Si dice che un corpo ha 6 gradi di libertà (GDL).

Nel piano i GDL sono 3 ovvero, 2 componenti di traslazione U (orizzontale), V (verticale) e una componente di rotazione Θ.

Affinché un corpo sia isostatico (cioè che non ammette spostamenti) occorre impedire i suoi 3 GDL. Per impedire i GDL abbiamo a disposizione i vincoli:

• Vincolo semplice = perché impedisce una componente di spostamento si dice che il vincolo ha una molteplicità di vincolo (1 MDV)
• Vincoli doppi = 2 (MDV)
• Vincolo triplo = 3 (MDV)

Avremo quindi la seguente situazione.

MDV = GDL —> La struttura risulta apparentemente isostatica.

MDV > GDL —> La struttura risulta apparentemente una o più volte iperstatica.

MDV < GDL —> La struttura risulta una o più volte labile.

Vincoli semplici

Vincolo

Prestazioni cinematiche

Condizioni di congruenza: cioè spostamenti impediti dal vincolo.

Prestazioni statiche

Reazioni esercitate dal vincolo al fine di impedire lo spostamento del corpo.

V_P = 0 U_P ≠ 0 Θ ≠ 0

U_P = 0 V_P ≠ 0 Θ ≠ 0

U_Pcosα + V_Esenα = 0

3 Spo

Pendolo

È analogo al carrello.

È analogo al carrello.

Doppio pendolo

Ua ≠ 0

Va ≠ 0

Mp

Vincoli doppi

Cerniera

U_p = 0

V_p = 0

Θ ≠ 0

U_F = 0

Θ = 0

V_F ≠ 0

Vincolo triplo

U_p = 0

V_p = 0

Θ = 0

Vincoli interni

A differenza dei vincoli esterni che hanno spostamenti assoluti, i vincoli interni ammettono spostamenti relativi ovvero lo spostamento di un corpo sul vincolo interno, x, equivale sarà uguale allo spostamento dell'altro corpo nello stesso punto e va a zero per X vincoli interni.

Nel vincolo interno quindi è nullo lo spostamento relativo affinché sia nullo tale spostamento il vincolo applicherà una forza uguale e contraria su entrambi i corpi.

Avremo perciò nei vincoli interni delle reazioni mutue.

Equilibrio di un corpo rigido

Affinché si verifichi l'equilibrio di un corpo rigido occorre che vengano soddisfatte le seguenti equazioni cardinali della statica:

∑F_x = 0 ∑F_y = 0 ∑M_(p) = 0

Se un corpo è effettivamente isostatico, non si sposta e quindi indipendentemente dal tipo e numero di forze applicate dovrà risultare necessariamente in equilibrio considerando il sistema di forze attivo e reattivo. Quindi in un corpo effettivamente isostatico valgono sempre le 3 equazioni cardinali della statica.

Applicazione sulle strutture

Numero di corpi

GDL = 3.

N = 3.

1 = 3

MDV = GDL

Struttura apparentemente isostatica.

MDV = 2._A + 1_F = 3

• ∑_x = 0 → X_A − 9q l X_F = 0
• ∑_y = 0 → Y_A − 3q l = 0
• ∑M_(A) = 0 → −2q l² − 3q l 2l + X_F l = 0

2) → Y_A = 3gl

3) → X_F = 6gl² + 2gl → X_F = 8gl

1) → X_A - 9gl