Richiami di algebra. Polinomi e operazioni sui polinomi

Polinomi

Consideriamo espressioni del tipo:

A_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ -> grado

a₁x: monomio

a₂: coefficiente

a₀, a₁, a_n in R

a_n != 0

I polinomi si scrivono per potenze crescenti - decrescenti -

Il polinomio con tutti i coefficienti "0" è detto nullo -

Grado polinomi uguali

A_n(x) = B_m(x)

Due polinomi si dicono uguali se sono dello stesso grado e se hanno ordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado -

Operazioni coi polinomi

A_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

B_m(x) = b₀ + b₁x + ... + b_mx^m

a_n != 0, b_m != 0

Somma

m, n N

Con n = m: A_m(x) + B_n(x) = (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)x + ... + (a_m + b_m)x^m

Con n > m: A_m(x) + B_n(x) = (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)x + ... + (a_m + b_m)x^m + (b_m+1x^m+1) + ... + (b_nxⁿ)

Es. (x² + 2x - 5) + (x³ - x + 2)

= 0x³ + x² + 2x - 5 + (x³ + 0x² - x + 2) = x³ + x² + x - 3

Con n > m: il grado di A_m + B_n = n

Con n = m: il grado di A_m + B_n è n

Prodotto

A_m(x) B_n(x) = C₀ + C₁x + ... + C_m+nx^m+n

C₀ = a₀b₀

C₁ = a₀b₁ + a₁b₀

C₂ = a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀

C_k = a₀b_k + a₁b_k-1 + a₂b_k-2 + ... + a_k-1b₁ + a_kb₀

Es. (x - 1)(x² + x + 1) = x³ + x² + x - x² - x - 1 = x³ - 1

Divisione

Considerando sempre i polinomi visti in precedenza A_n(x) e B_m(x) con a_n diverso da 0 e b_m diverso da 0, n maggiore o uguale a m, possiamo dare le seguenti definizioni:

Dati due polinomi A_n di grado "n", B_m di grado "m" tali che n maggiore o uguale a m, possono essere determinati in maniera univoca due polinomi Q(x) ed R(x) che soddisfano queste proprietà: il grado di Q è "n-m" ed il grado di R è minore di m e vale la relazione:

A_n(x) = B_m(x) · Q(x) + R(x)

Il polinomio Q(x) è il quoziente ed il polinomio R(x) è il resto della divisione.

Es.) A(x) = 2x⁴ + x³ - x + 2

B(x) = x² + 3

Determiniamo il quoziente ed il resto.

A è un polinomio di grado 4

B è un polinomio di grado 2

Il quoziente è un polinomio di grado 2 ed il resto è un polinomio di grado minore di 2.

Divisione per potenze decrescenti

La divisione esposta precedentemente si svolge così:

2x⁴ + x³ ... - x + 2

2x⁴ + 6x²

x³ - 6x² - x + 2

x³ + 3x

-6x² - 4x + 2

-6x² - 18

-4x + 20

x² + 3

2x² + x - 6

1° resto parziale R₃ = A - 2x²B

2° resto parziale R₂ = R₃ - xB

3° resto parziale R₁ = R₂ - (-6)B

R₃ + R₂ + R₁ = A + R₃ + R₂ - (2x² + x - 6)B

A = (2x² + x - 6)B + R₁

A_n = Q · B_n + R

Divisibilità fra polinomi

A_n(x) = B_m(x)Q(x) + R(x)

Se R(x) = 0 allora A_n(x) è divisibile per B_m(x)

B_m(x) è un divisore di A_n(x)

A_n(x) è irriducibile se n 1 e non esistono divisori B_m(x) di A_n(x) tali che 0 m n

I divisori devono essere quindi polinomi di primo grado (ax+b) ed al più di grado n-1.

Caso specifico di divisibilità per il polinomio

x-c

Scelgo m = 1 e B₁(x) = x-c dove c R

A_n(x) = (x-c) A_n-1(x) + r (r è costante perché di grado zero)

Teorema: A_n(x) è divisibile per (x-c) se e solo se A_n(c) = 0

La divisibilità di un polinomio per x-c si determina escludendo quello che è controllare questa condizione: A_n(c) = 0

Infatti: A_n(x) = (x-c) A_n-1(x) + r

n = 0 allora: A_n(c) = (c-c) A_n-1(c) + 0

A_n(c) = 0

Quindi questo dimostra che se A_n(x) è divisibile per x-c allora A_n(c) = 0

Vediamo ora il viceversa:

A_n(x) = (x-c) A_n-1(x) + r

Supponiamo che A_n(c) = 0 e dobbiamo fare vedere che A_n è divisibile per x-c.

A_n(c) = r ma visto che per ipotesi A_n(c) = 0

Si deduce che r = 0 quindi A_n(c) = r = 0

Dire che r = 0 equivale a dire che A_n(x) = (x - c) Q_n-1(x), allora

Divisore: c'è la condizione di divisibilità che volevamo.

Il numero "c" è detto radice o zero del polinomio A_n(x) se A_n(c) = 0. Quindi le radici del polinomio sono le soluzioni dell'equazione A_n(x) = 0.

Il calcolo considerando x - c come divisore, si può calcolare il quoziente con la regola di Ruffini.

Regola di Ruffini

Es. A₃(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

A₃(x) = (x - c) Q₂(x) + r

Q₂(x) = q₂x² + q₁x + q₀

(x - c) Q₂(x) + r = q₂x³ + (q₁ - cq₂)x² + (q₀ - cq₁)x + (r - cq₀)

q₂ = a₃

q₁ = a₂ + cq₂

q₀ = a₁ + cq₁

r = a₀ + cq₀

È più usuale scrivere questo risultato in forma di tabelle.

q₃    q₂    q₁    q₀

c        cq₂    cq₁    cq₀

q₂    q₁    q₀    N

q₂ = q₃

q₁ = q₂ + cq₃

q₀ = q₁ + c(q₂ + cq₃)

N = q₀ + c[q₁ + c(q₂ + cq₃)]

N = A₃(c)

A questo punto sostituisco nelle tabelle generale:

q₃    q₂    q₁    q₀

c        cq₃    c(q₂ + cq₃)    c[q₁ + c(q₂ + cq₃)]

q₃    q₂ + cq₃    q₁ + c(q₂ + cq₃)    q₀ + c[q₁ + c(q₂ + cq₃)]

La divisione sarà data dall'avere il resto uguale a zero se N = 0