Riassunto Successioni e Serie numeriche

Analisi matematica I

1) Principio di induzione

Nell'ambito delle dimostrazioni matematiche è uno dei principali metodi utilizzabili. Si utilizza quando è richiesta la dimostrazione di una proprietà, di un teorema, di una proposizione che vale per i numeri naturali. Ovvero: "Dimostrare che ∀_n ∈ ℕ vale P_n."

Il p.d. induzione afferma che:

1. Se P è vera per n = 0, cioè P₀ è vero;
2. Se P è vera per m > 0 ∃m P è vera per M+1 cioè P_m vera ⇒ P_(m+1) vera.

Allora P è vera per tutti gli m ∈ ℕ.

Il punto (1) è la base di induzione. Il punto (2) si dice passo induttivo e P_m è l'ipotesi induttiva (Hp).

Come si usa

Supponiamo di avere una proprietà P_nk da dover dimostrare ∀n ∈ ℕ e più in generale ∀M ≥ K con K ∈ ℕ.

1. Base di induzione - si sostituisce k nella proprietà e si verifica che l’espressione ottenuta sia vera.
2. Passo induttivo:
   1. Si suppone P_m vero.
   2. Si sostituisce m+1 ad m in P_m ottenendo P_(m+1) e si dimostra che anche P_(m+1) è vera.

2) Successioni numeriche

m successione numerica a: ℕ → ℝ è una legge che associa ad ogni numero naturale n un numero reale indicato con a_n. Per indicarlo vengono usate le notazioni: {a_n}_n∈N or (a_n)_n∈N.

È una “lista” ordinata e infinita di numeri reali. Data una successione a: ℕ → ℝ, si definisce sostegno della successione e l’insieme dei valori soli che esso assume.

Un numero α ∈ ℝ appartiene o sostegno di a se e solo se ∃_n ∈ ℕ/a_n = α.

Analisi matematica I

1) Principio di induzione

Nel contesto delle dimostrazioni matematiche è uno dei principali metodi utilizzati. Si utilizza quando è richiesta la dimostrazione di una proprietà, di una tesi, di una proposizione che vale per i numeri naturali dire: "Dimostrare che ∀_{n ∈} ℕ vale _n."

Il p. di induzione afferma che:

1. Se è vera per =0, cioè ₀ è vero;
2. Se è vera per allora è vera per +1 cioè _m vera ⇒ _m+1 vero.

Allora è vera per tutti ∈ℕ.

Il punto (1) è la base di induzione. Il punto (2) si dice passo induttivo e _m è l'ipotesi induttiva (Ip.).

Come si usa

Supponiamo di avere una proprietà _n da dover dimostrare ∀_{n ∈} ℕ.

1. Base di induzione: si sostituisce nella proprietà e si verifica che l'espressione ottenuta sia vera.
2. Passo induttivo:
   1. Si suppone _m vero.
   2. Si deve sostituire +1 ad in (_m) ottenendo _m+1 e si dimostra che anche _m+1 è vero.

2) Successioni numeriche

Una successione numerica :ℕ→ℝ è una legge che associa ad ogni numero naturale un numero reale indicato con _n. Per indicarla vengono usate le notazioni:

1. {_n} _{n ∈} ℕ oppure {_n} _{n ∈} ℕ

È una "lista ordinata e infinita di numeri reali. Data una successione ℎ:_ℕ→ ℝ, si definisce sostegno della successione l'insieme dei valori reali che essa assume.

Un numero _α∈ℝ appartiene al sostegno di se e solo se ∃_{n ∈} ℕ | _n = _α.

Successioni monotone crescenti (strettamente e non)

Una successione (a_n)_{n ∈ N} è monotona strettamente crescente se ∀n si ha che: a_n < a_n+1.

È monotona crescente (non strettamente) se risulta: a_n ≤ a_n+1.

Esempi:

1. {a_n} = n

Dunque, verifichiamo a_n < a_n+1. a_n = n < n + 1 = a_n+1 ∀n ∈ N.

2. {a_n} = n!

Dimostriamo che a_n < a_n+1 ⇒ 1 < a_n+1 / a_n.

a_n+1 / a_n = (n+1)! / n! = (n+1)⋅n! / n! = (n+1) ≥ 1 ∀n ∈ N.

Successioni monotone decrescenti (strettamente e non)

La successione (a_n)_{n ∈ N} è monotona strettamente decrescente quando: a_n > a_n+1 ∀n ∈ N.

È monotona decrescente (o non crescente) quando: a_n ≥ a_n+1 ∀n ∈ N.

Esempi:

1. {a_n} = -n²

a_n > a_n+1 ⇒ a_n+1 - a_n < 0.

a_n+1 - a_n = -(n+1)² - (-n)² = -((n+1)² + n²) = -(n+1)(n+1)(n+n+1) = -(2n+1) < 0, verif.

2. a_n = { 1 se 1 ≤ n ≤ 4 1 / n se n ≥ 5

1 / n < 1 ∀n ≥ 5. 1 < n ⇒ sommo (N) ai due membri. 0 < 1 ⇒ n < n+1 ⇒ 1 / n+1 < 1 / n ∀n > 5~ Do cui a_n+1.

Come studiare la monotonia di una successione

Metodo 1: Dalla disuguaglianza An < An+1 segue che An+1 - An > 0.

Metodo 2: se (An) è una successione positiva allora:

• An < An+1 <=> 1 < An+1 / An
• An > An+1 <=> 1 > An+1 / An

Metodo 3: Teorema sulla monotonia di una successione: Se {On} e {bn} sono due successioni crescenti, allora la successione somma {an+bn} è una successione monotona crescente.

Segno di una successione

Una successione An: N → R si dice:

• Non negativa se An ≥ 0 ∀n ∈ N
• Positiva se An > 0 ∀n ∈ N
• Non positiva se An ≤ 0 ∀n ∈ N
• Negativa se An < 0 ∀n ∈ N

Esistono, oltre a queste, successioni a segno variabile tra le quali hanno particolare importanza le successioni a segni alterni.

Una successione {An} è a segni alterni se An * An+1 < 0, cioè ogni suo termine è "miscoato" con il successivo.

Studio del segno di una successione

1. Tramite disequazioni. Consiste nella risoluzione di An > 0 e si hanno tre possibilità così:
   • Soddisfatta ∀n ∈ N, allora la successione è positiva.
   • Mai e non soddisfatta, allora {An} è non positiva (negativa o nulla).
   • Soddisfatta per alcuni valori, allora {An} è a segno variabile (verifica se si tratt di una succ. a segni alterni).
2. Tramite principio di induzione. Vogliamo dimostrare An > 0 ∀n ∈ N, per farlo:
   • (1) Verifica per passo base A₀ > 0

(2) Hp induttiva _{ak > 0}.

(3) Dimostro _{ak+1 > 0} (posso concludere).

Successione limitata superiormente

Una successione reale {a_n}_{n ∈ N} è limitata superiormente se e solo se esiste un numero reale M che sovrasta tutti i termini. Formalmente: a_n ≤ M ∀n ∈ N.

Esempi:

• Ogni successione costante è lim. sup.
• La succ. in cui termine n-esimo è a_n = sen(n) è lim. sup. da M = 1.
• La succ. {a_n}_n∈N = {factor(m)}_n∈N è lim. sup.

Successione limitata inferiormente

m ≤ a_n ∀n ∈ N.

• Ogni succ. costante è inf. lim.
• La succ. ∀n sen(n) è lim. inf. da m = -1.
• a_n = m₂+1 è lim. inf. da m = 1.

Una successione si dice limitata quando ∃m, M | m ≤ a_n ≤ M ∀n ∈ N o equivalentemente se esiste N ∈ R | |a_n| ≤ N ∀n ∈ N.

Dimostrare la limitatezza

Data la successione reale {a_n}_n∈N se lim a_n = l ∈ R allora la successione è limitata (No esistono anche successioni limitate che non ammettono limite).

Limiti di successioni finiti (successioni convergenti)

Una successione (a_n)_n converge ad un numero reale a ∈ ℝ se e solo se per definizione: Comunque si fissi ε > 0, con ε ∈ ℝ, riusciamo a determinare un indice n₀ ∈ ℕ t.c. tutti i termini della successione con indice maggiore di n₀ (∀n > n₀) hanno "distanza" da a minore di ε.

Ovvero: ∀ε > 0 ∃n₀ ∈ ℕ con n₀ > 0 / ∀n > n₀ ⇒ |a_n - a| < ε.

Se volevo definire a e il limite della successione. lim_n→∞ a_n = a.

Esempio: lim_n→∞ (n - 1)/_n = 1.

|a_n - a| < ε ⇒ |(n - 1)/_n - 1| < ε.

|(n - 1 - n)/_n| < ε.

|-1/_n| < ε.

1/_n < ε.

n > 1/_ε dunque dovremo scegliere un n₀ > 1/_ε.

Limiti di successioni infiniti (successioni divergenti)

Una succ. diverge positivamente se, comunque si fissi un numero reale positivo M (basta che gli piaccia), ∃n₀ ∈ ℕ / ∀n > n₀ a_n > M.

lim_n→∞ a_n = +∞ ∀n > n₀ a_n > M / ∀n > n₀.

Esempio: lim_n→∞ n² + 2n = +∞.

n² + 2n > M.

____________

n² + 2n - M > 0.

Dobbiamo dimostrare l'esistenza di un indice n₀ dopo il quale i valori della successione soddisfano la disequazione.

n_1,2 = -2 ± √4 + 4M = -2 ± 2√1 + M.

(2)→ n > 1 + √1 + M.

(1)→ -1 - √1 + 4.

_____________________________

n 1 + √1 + M.

n₀ = [1+√1 + M] +1 Marco.

Ricapitolando: lim_n→∞ a_n = { e∈ℝ → a_n convergente → { +∞ → a_n divergente → { _n