Riassunto per esame fondamenti di automatica

Automatica - sguardo globale

• Lineare/non lineare
• Tempo variante/invariante
• Proprio/strict. proprio
• SISO/MIMO

L'equilibrio può essere dato da un sistema lineare/invariante {Ax + Bu = ẋCx + Du = y}

Sistema lineare

(A - λI)x = 0

Da qui l'importanza dello studio sugli autovalori

x(t) = e^At x₀ + ∫ e^A(t-τ) B u(τ) dτ

y(t) = Cx(t) + Du(t)

Diagonale

Diagonalizz con α dati digitali

Jordan con α tempo, α digitali

Sistema non lineare

Linearizzazione

A = δf/δx, C= δg/δx, B = δf/δu, D = δg/δu

Stabilità sistemi lineari

• Tutti i λ di A sono a Re(A) 0 => Instabile
• Se coeff. p. car. non sono tutti ≠ 0 e concordi => Instabile

Automatica - sguardo generale

Classificazione sistemi:

• Lineare / Non Lineare
• Tempo Invariante / Variante
• Proprio / Strett. Proprio
• SISO / MIMO

Il comp. intorno ad ogni equilibrio può essere descritto con un sistema lineare/invariante

Punti di equilibrio

Sistema Lineare

• Sistema Unico

Sistema Non Lineare

• Sistema Non Unico

Formule di Lagrange

Stabilità sistemi lineari

Tutti i λ di A sono Re(λ)0 => Instabile

Se coeff. p. car. non sono tutti ≠0 e concordi => Instabile

Trasforma di Lapl.

F{s} = L

Facilita risoluz. secco

Trasformo e antitrasformo

Proprietà

Heaviside

Polo sulla parte reale negativa

Non ci sono poli in zero posto. Condizione continuità u(t)

TFI: y{t} limite sG{s}

TVF: y{o} limite sG{s}

Funzione di trasferimento

Se prendiamo x{o} = 0 (solo parte forzate)

Y{s} = G{s}U{s}

G{s} = Y{s}/U{s}

G{s} = b_nsⁿ + b_n-1s^n-1 + ... + b_ma_nsⁿ + a_n-1s^n-1 +...+ a_m

G{s} = \(\frac{{b₂}}{{a₂}}\)

con p = \(\frac{{b₂}}{{2a₂}}\)* G{s} = \(\frac{{M(s)}}{{\sigma (s + \zeta) (s + \zeta)}}\)

G{s} = M/[{\sigma}(s+z)(s+z)]

Risposta allo scalino

Un Polo M

g(t)= M - Me^-mt

• Katykpricebward

schema = f(kaota & na & naC coincide

Zero

2 poli reali distinti

Smorz

2 poli comp. coniugati

Sottoammortizz

Forma di risposta se poli coniug.

G(s) = μ ω_n² / s² + 2ξω_ns + ω_n²

τ₂ = β / |ω₁|

2 poli reali con zero

2 poli cc. con zero

T = T_+P + T₂ = 1⁰ / 2π|τ₂| = β / |ω₁|

Tutto ciò con U. salino, ma se l'ing. è sinusoidale?

Risposta in freq. globale

G(s) → G(jω)

Teo se A...ato las.stadi., la risposta ad un ingresso sinusoidale è anch'essa sinusoidale con ω_f = ω_u, ma ampiezza e fase determinate da G(jω)

F.e Fourier: Σ A_i sin(ω_it + φ_i) con ω_i: freq.d. d.v.^ix

Trasformata Fourier

F(jω) = ∫_-∞^+∞ f(t) e^-jωtdt

⇒ Y(jω) = G(jω) U(jω) con

grafici Bode modulo e fase()

Rigose

Fase: → se pole stabili/zero instabile +90° pole instabili/zero stabili

Sistemi a fase minima

μ = 0

Ref(p)_i

Ref(z)_i

Motidato

⇒ ∠G(jω) = 90° (tendenza modiola)

Actra rif. G(s) = l G(jw) l e^jΩ(jw)

Filtri

• Low-pass
• High-pass
• Band-pass

Sistemi di controllo

• Anello aperto
• Anello chiuso

L(s) + dF(s) = l(s) 1 + L(s)

Sc(s) = 1 + L(s)

Obiettivo: Y(t) = W(t)

voglio in anello chiuso

F(s) e Sc(s)

Stabilità robusta

Criterio Nyquist

P = poli L(s)

Margine di guadagno

Criterio di Bode

Ora che sappiamo se

Statica (regime)

Dinamica (trans)