Riassunto Fisica II

Fisica 2

Forze fondamentali

Forze fondamentali: gravitazionale, elettrica, magnetica, nucleare (forte, debole).

Forza elettrica e magnetica sono manifestazioni della forza elettromagnetica; elettromagnetica e nucleare debole manifestazioni della forza elettrodebole (Rabbia).

Carica elettrica

Elektron (= ambra) elettricità. Carica positiva (protoni) o negativa (elettroni, simuovono in direzione opposta alla corrente elettrica), proprietà:

• Quantizzata: multiplo intero carica fondamentale, espressa in Coulomb −19(grandezza derivata, 1 C = 1 A/s). Carica protoni +e, e=1,6∗10 Celettroni –e.
• Si conserva in un sistema isolato.

Numero atomico Z = num protoni = num elettroni (≠ se ioni).≅1836/mmMassa atomica = num protoni + neutroni, .p e

Elettrostatica

Legge di Coulomb: date due cariche puntiformi ferme qa e qb poste ad una distanza tra loro r, il modulo della forza elettrica tra loro è dato da:

q q| |⃗ a b=F=kF 2r

Essa scala con l’inverso del quadrato.

=1/4k πε ε = COSTANTE DIELETTRICA (permittività) mezzo in cui si trovanocariche. Nel vuoto:

−12 −12 2 2≅9∗10=ε =8,85∗10 /ε C N m0 1 9 9 2 2≅= =8,99∗10 /Ck 9∗10 N m4 π ε 0

Forza elettrica molto intensa rispetto gravitazionale (due e- distanti 1 cm:42/ =4∗10 ) Big Bang: inizia ad agire prima F elettrica (formazione atomi) dopoF F e gF gravitazionale (atomi si aggregano).

Legge in forma vettoriale: versori ua e ub indirizzati rispettivamente verso qb e qa (stessa direzione antiparalleli), forza elettrica che sente b data da:

q q1⃗ a b ^=F ub b24 π ε r0

=−FF (vettori), uguali ma verso opposto principio azione-reazione.a b

Cariche discordi F attrattiva (versori orientati come sopra), concordi repulsiva (versori orientati verso l’esterno). Fe detta forza radiale, diretta solo lungo congiungente cariche.

Principio di sovrapposizione

Principio sovrapposizione: data qualsiasi distribuzione di cariche e carica riferimento q0, forza risultante agente su di essa è pari a somma vettoriale singole∑⃗ ⃗=R Fforze di ogni carica, 0

Data carica qa e generico punto P, se poniamo su P qualsiasi carica q notiamo che F calcolata è composta sempre da stesso fattore moltiplicato per la carica posta su P fattore detto campo elettrico E, vale per qualsiasi punto dello spazio:

q1⃗ ⃗ ⃗a ^ ⇒= =qE u F Ea24 π ε r0 / /mN C V

Unità di misura: (oppure , vedi sotto).

Vale sempre pr sovrapposizione: date n cariche e carica q, risultante agente su essa∑⃗ ⃗=q( )R E .

Campo = grandezza fisica che assume valori differenti ogni punto dello spazio, in funzione anche del tempo (se non è stazionario). Può essere scalare, ogni pto spazio-tempo (xyzt) associato ad un numero (temperatura, pressione, densità) o vettoriale (elettrico, magnetico, velocità).

Rappresentazione grafica c vettoriale linee di campo: ogni loro pto presentavettore campo tangente ad esse, più fitte dove campo più intenso, non si intersecano mai.

Linee campo elettrico: carica positiva uscenti, carica negativa entranti.⃗ ⃗ linee di forza identiche a linee campo per cariche positive, verso opposto=q F Eper cariche negative.

Carica è qtà discreta, ma molto piccola immaginare distribuzione continua in unvolume V densità di carica ρ: rapporto carica/volume infinitesimo,⇒dq=ρρ=dq/dV dV .

2 ^∗dq /r ∗Considero pto P esterno a V, esso è soggetto a campo elettrico dE=1/4 π ε u0 r.

Campo elettrico totale dato da integrale:

1 ρdV∫⃗ = ^E u r4 π ε 2r0VS

Sbarra carica

Sbarra lunghezza L e carica totale Q, posta su asse x (origine ad un’estremità):

>x x Ldeterminare E in pto P posto su asse x, posizione ( ). Immagino sbarra0 0formata da tanti pezzetti di egual carica.

λ=Q/ L⇒ Q=λL dq=dxλDensità lineare. Carica di ogni pezzetto.

Campo elettrico totale (porto fuori costanti):

Lλ dx 1 Q∫⃗ =( )= ^ = ^E x … x2 ( )4 π ε 4 π ε −Lx x( )−xx0 0 0 0 00 ≫ ⇒ −Lx L x → x

Se ci troviamo a grande distanza, quindi:

0 0 01 Q⃗ ≅ ^E x4 π ε 2x0 0

A grande distanza sbarra si comporta come carica puntiforme.

Forza conservativa e lavoro elettrico

Forza conservativa:

1. Per spostare un oggetto lungo un qualsiasi percorso (A-B) il lavoro totale non cambia, dipende solo da posizione iniziale e finale (lavoro indipendente dal percorso).
2. Lungo qualunque percorso chiuso (A-A, parto e arrivo nello stesso punto) il lavoro totale per spostare l’oggetto è nullo.

Lavoro totale forza elettrica per spostare lungo traiettoria carica puntiforme q0, da punto A a B:

B B∫ ∫⃗ ⃗⃗ =q ⃗L= F ∙ d s E ∙ d s0A A

B∫ ⃗ ⃗ =¿E ∙ d s lavoro per unità di carica.

NB: lavoro (“mio”) per portare carica in una posizione è sempre opposto a lavoro forza elettrica.

Dimostrazione

Considero prodotto scalare F elettrica per spostamento ds, corrisponde a F moltiplicata per la componente radiale di ds (parallela a F), ossia dr, unica che conta ai fini delB∫⃗lavoro, quindi (porto fuori costanti):  L= F dr⃗ =FF ∙ d s dr A

|BB ( )q q q q q qdr 1 1 1∫0 0 0=− = −L= 24 π ε 4 π ε r 4 π ε r rr0 0 A 0 A B

AL dipende da rA e rB = distanze carica q da punto A e B, inizio e fine percorso Felettrica è conservativa. L

Quindi (definizione forza conservativa), per ogni traiettoria chiusa:

A∫ ∮⃗ ⃗⃗ = ⃗ =0L= F ∙ d s F ∙ d sA

Circolazione di F = 0

Da questa si deriva che:

∮ ⃗ ⃗ =0E ∙ d s

2° equazione di Maxwell in caso di campi statici, anche E è conservativo.

Energia potenziale e potenziale elettrico

Forza conservativa esiste una funzione U scalare, detta energia potenziale,tale per cui:

∫ ⃗ ⃗ =−∆L= F ∙ d s U

∫ ⃗ ⃗ =−qL=q E ∙ d s ∆ V

Nel caso della forza elettrica V detto potenziale0 0elettrico = energia potenziale per unità di carica:

∆U⇒=q =∆ U ∆ V ∆V0 q 0 =J /CV

Unità di misura: volt.

⃗ ⃗ =dL=−dUF d sU funzione di variabili xyz dU pari a somma derivate parziali:

∂U ∂U ∂U=dU dx+ dy+ dz∂x ∂y ∂z

Ogni componente di F sarà uguale a ogni derivata parziale con segno opposto introduzione funzione gradiente:

}−∂U=F x ∂x ( )∂ ∂ ∂−∂ U ⃗ ∇==−∇F U , ,=F y ∂ x ∂y ∂z∂y−∂ U=F z ∂z }

⃗ ⃗=q =−∇F E U ⃗ =−∇E V0⇒−∇ ∇U=q V U=−q V0 0

Considero lavoro forza elettrica:

{ q q 10U=( )q q 1 1 4 π ε r0 ⇒− =−∆ =U −UL= U 0A B4 π ε r r q 10 A B =V 4 π ε r0

Dove U e V sono energia potenziale e potenziale elettrostatico prodotti da carica puntiforme q. NB sarebbe da aggiungere costante a risultato U e V, ma concordata nulla. ∇

Dimostrazione da E = - V a legge Coulomb

Considero carica q con coordinate (0,0,0) che genera campo E. Posiziono carica di⃗ (xr , y , z)prova in generico punto P (x,y,z), a distanza da q modulo√ ^ =⃗ /r2 2 2 r r, versore .+ +r= x y z ∇

Calcolo componenti E (E = - V):

( )1∂ ( )−∂ −qV r q ∂r q x ∂r 2 x x= = = = = =E √x ∂x 4 π ε ∂ x ∂ x r ∂ x r2 2 2 2 24 π ε r 4 π ε r + +2 x y z0 0 0

Stesso procedimento per Ey e Ez:

( )q x y z q⃗ ( )= = = ^E E , E , E , , rx y z r r r2 24 π ε r 4 π ε r0 0

Superfici equipotenziali

Tutti i punti presentano stesso valore di V, spostandosi lungo essa ΔV sempre nulla L nullo (integrale nullo f integranda nulla).

• Sempre perpendicolari a campo elettrico.
• In ogni punto dello spazio passa solo una superficie (funzione V univoca, ogni punto associato a un solo valore di V).

V carica puntiforme superfici equipotenziali sferiche, centrate nella carica (tutti ipunti a stessa distanza da essa).

Flusso del campo elettrico

Considero superficie Σ divisa in porzioni infinitesime dΣ, versore u normale a esse, su ognuna agisce vettore campo elettrico.

Flusso del campo elettrico attraverso superficie infinitesima:

⃗⃗ ⃗ Σ=⃗^( )= .d Φ E E ∙ u d E ∙ dΣd Σ

Flusso totale superficie Σ:

∫⃗ ⃗ ⃗( )=Φ E E ∙ dΣΣ Σ

Valore Φ massimo (EΣ) se E // alla normale superficie, 0 se ⊥ a essa. Verso positivo flusso sempre uscente (verso l’esterno).

Legge di Gauss del campo elettrico

Legge di Gauss del campo elettrico – 1° equazione di Maxwell:

Q∮ ⃗⃗ TOTE ∙ d Σ= ε 0Σ

Per Σ chiusa, sempre valida (campi statici e non).

Qualsiasi superficie chiusa Σ attraversata da E prodotto da q puntiforme esterna ad essa flusso totale = 0: tutte le porzioni dΣ perpendicolari hanno Φ = 0, altrepresentano contributi che si annullano due a due (opposti, uno entrante l’altro uscente, ed uguali: E cala con quadrato distanza, superficie aumenta con quadrato distanza).

Qualsiasi superficie chiusa S contenente carica q: considero superficie sferica S’interna a S flusso S corrisponde solo a flusso S’ (regione tra S e S’ non contienecariche, quindi Φ = 0).

q q q q q∮ ∮ ' ' 2= = = =E= →Φ E d S '= d S S 4 π r' ε2 S 2 2 24 π ε r 4 π ε r 4 π ε r 4 π ε r 0' '0 S 0 S 0 0

Quindi ho dimostrato legge Gauss. 2

Piano infinito carico

Campo elettrico generato da piano infinito con densità di carica superficiale σ (C/m²):

σE= 2 ε 0

E sempre in direzione ⊥ al piano (simmetria) con verso uscente (dimostr con T Gauss, costruisco cilindro).

Forma vettoriale (asse x ⊥ piano, positivo a dx):

{ σ⃗ ^= >0E x x2 ε 0−σ⃗ = ^ <0E x x2 ε 0

Potenziale elettrico a destra e sinistra del piano

B (x > 0): −σ −σσ∫ ∫⃗ ⃗=− +k =V E dl=− dx= x x2 ε 2 ε 2 ε0 0 0

V diminuisce se mi allontano; k costante arbitraria impongo V(x = 0) = 0 quindi k =0.

( )σ σ⃗⃗ dx)E ,0 , 0 , dl(dx ,dy , dzNB componenti , prodotto scalare .2 ε 2 ε0 0

A (x < 0): σ σ= +k =V x x2 ε 2 ε0 0

Differenza potenziale tra due pti P e Q nelle due regioni:

{ −σ ( )( )−V ( )= −x >0V P Q x xP Q2 ε 0σ ( )( )−V ( )= −x <0V P Q x xP Q2 ε 0

Due piani infiniti paralleli

Due piani infiniti paralleli caricati +σ e -σ (stesso modulo) a distanza D, analisi regioni A (sx), B (in mezzo), C (dx):

Campo elettrico:

+σ σ ⃗ ⃗⇒− =E 0Regione A: tot2 ε 2 ε0 0

−σ σ ⃗ ⃗⇒+ =E 0Regione C: tot2 ε 2 ε0 0

+σ σ σ⃗⇒+ = ^E xRegione B: tot2 ε 2 ε ε0 0 0

Potenziale (imposto origine asse x su piastra sx):

−σ '= +kV xRegione B, 0 ≤ x ≤ D: ε 0

−σσ σ' '( )=0 ⇒− ⇒ ⇒V=D = = (V x D+ k k D x−D)Impongo ε ε ε0 0 0

σ=V DRegione A, x ≤ 0: ε 0

=0Regione C, x ≥ D: V

NB se E nullo V costante.

Lavoro per portare carica q0 da regione A a B (opposto L forze elettriche) positivo (da( )=−L =q =q −VL ΔV VV più alto a più basso, diminuisce Ep e aumenta Ek): .io Fel 0 0 A B

Guscio sferico cavo

Guscio sferico cavo (raggio R) caricato uniformemente sulla superficie, ( )Q C=σ. Calcolo E con T Gauss, scelgo superfici sferiche concentriche (raggio2 24 π R mr) E radiale, stessa intensità.

Esterno della sfera, r > R: Q Q⃗ ⃗ ⃗2 tot ^⇒¿ =