Riassunto Esame Matematica generale, prof Mastroleo, libro consigliato Manuale di matematica, Scovenna

Riassunti di matematica generale

Prof: Giovanni Mastroleo

Testi consigliati:

1. Bianchi M., Scaglianti L., Precorso di Matematica, ed. Cedam;
2. Torriero A., Scovenna M., Scaglianti L., Manuale di Matematica, ed. Cedam;
3. Scovenna M., Grassi R., Esercizi di Matematica, ed. Cedam.

I limiti

Limite finito di una funzione in un punto

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c interno ad esso. Si dice che: lim () = →

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un intorno completo del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno, escluso al massimo il punto c, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

|() |− <

Cioè che: − < () < +

Limite infinito di una funzione in un punto

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c interno ad esso. Si dice che: lim () = +∞→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un intorno completo del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno intersecato col dominio, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

() >

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c’interno ad esso. Si dice che: lim () = −∞→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un intorno completo del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno intersecato col dominio, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

() < −

Limite destro

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c interno ad esso. Si dice che: lim () = +→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un intorno destro del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno, escluso al massimo il punto c, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

|() |− <

Limite sinistro

Sia f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato, escluso al massimo il punto c interno ad esso. Si dice che: lim () = −→

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un intorno sinistro del punto c, tale che, per ogni x che appartiene all’intorno, escluso al massimo il punto c, risulti soddisfatta la seguente disequazione:

|() |− <

Limiti all’infinito

Sia f(x) definita in un intervallo illimitato. Si dice che:

lim () = →+∞

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un numero N positivo tale che risulti soddisfatto dai valori x>N.

|() |− <

Sia f(x) definita in un intervallo illimitato. Si dice che:

lim () = →−∞

Quando in corrispondenza di un numero positivo e arbitrario è possibile determinare un numero N positivo tale che risulti soddisfatto dai valori x<-N.

|() |− <

Per x che tende a +∞ i limiti all’infinito sono:

Si dice che il quando Si dice che il quando () = +∞ () = −∞→+∞ →+∞

La disequazione f(x)>M è soddisfatta la disequazione f(x)<-M è soddisfatta dai valori dai valori>

Per x che tende a -∞ i limiti all’infinito sono:

Si dice che il quando Si dice che il quando () = +∞ () = −∞→−∞ →−∞

La disequazione f(x)>M è soddisfatta la disequazione f(x)<-M è soddisfatta dai valori dai valori < −

Definizione unitaria di limite

Sia e c un punto di accumulazione.: → Si dice che lim () = →

Quando, preso comunque un intorno k di L, esiste sempre un intorno I di c, tale che per ogni x appartenente al dominio intersecato con l’intorno, escluso al massimo il punto c, si abbia che () ∈

Teoremi dei limiti

1. Unicità del limite

Se esiste il allora tale limite è unico.

lim ()→

Dimostrazione:

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che per la funzione ammetta due limiti distinti l ed → m, cioè risulti che:

e () = () = → →

Supponiamo che l>m.

−Indichiamo = 2

Allora, per definizione, in corrispondenza di epsilon devono esistere due intorni tali per cui:

− < () < + ∀ ∈ 1

− < () < + ∀ ∈ 2

Nell’intorno I dato dall’intersezione dei due intorni, le due condizioni devono valere simultaneamente, quindi si dovrebbe avere che:

da cui − < () < + ∀ ∈ − < + −

Per cui che è in contraddizione con quanto affermato in precedenza > 22.

2. Teorema della permanenza del segno

Se il esiste un intorno di c, per ogni x del quale, escluso al massimo il punto c, la lim () = ≠ 0→ funzione ha lo stesso segno del limite.

Dimostrazione:

Supponiamo > 0

Fissato un epsilon arbitrario, è possibile determinare un intorno di c, tale che per ogni che appartiene all’intorno, escluso al massimo il punto c, si ha che:

− < () < +

Dato che epsilon è arbitrario lo fissiamo in modo tale che Da ciò:. − > 00 < () < +

Ciò dimostra che la funzione ha lo stesso segno del limite.

3. Teorema del confronto

Siano f(x), g(x) e h(x) tre funzioni definite nello stesso intervallo, escluso al massimo il punto c, tali che:

• Per ogni() ≤ ℎ() ≤ () ≠
• Il lim () = il lim () = → →

Allora il lim ℎ() = →

Dimostrazione:

Dato che il segue che, fissato un epsilon arbitrario, si può determinare () = () = → →

− < () < + ∀ ∈ 1

− < () < + ∀ ∈ 2

Nell’intorno I dato dall’intersezione dei due intorni, le due condizioni devono valere simultaneamente e dato che h(x) è compreso tra le due funzione allora:

− < ℎ() < + ∀ ∈

Ciò dimostra che ℎ() = →

Infinitesimi

Si dice che è un infinitesimo quando il() () = 0→

Teoremi

1. Scrittura di f(x) fuori dal segno di limite

Se una funzione è tale che: () = →

Allora, in un opportuno intorno di c si ha che

() = + ()

Dimostrazione

Se vale il limite per cui () = →

Allora in corrispondenza di epsilon esiste un intorno del punto c, tale per cui per ogni punto dell’intorno escluso al massimo il punto c risulta che

|() |− <

E dunque, posto si può scrivere

() = () − |()| <

Questo prova che () = 0→

2. Teorema

Se ed esiste un intorno di c tale per cui, per ogni x che appartiene all’intorno, risulta () = 0→ 1 che allora() ≠ 0 =∞()→

Dimostrazione

Se vale il limite per cui allora in corrispondenza di un numero epsilon arbitrario e () = 0→ positivo, esiste un intorno di c tale per cui, per ogni x che appartiene all’intorno, escluso al massimo il punto c, risulta che: |()| <

E si ha inoltre che