Riassunto di Psicometria

Psicometria

Definizione di variabile

Variabile: un qualsiasi attributo o caratteristica che è stata misurata e che può cambiare o assumere valori o categorie diverse da caso a caso.

Variabile quantitativa: quella i cui valori osservati sono numeri (ad es. età, reddito).

Variabili categoriali: quelle i cui valori osservati sono rappresentati da categorie (genere, titolo di studio, religione).

Nome della variabile (genere/livello di istruzione/ansia/competenze matematiche)

Modalità (maschio o femmina/elementare, media/punteggio ad un test/operazioni corrette)

Variabili discrete: se i suoi possibili valori formano un insieme di numeri distinti come 1, 2, 3.

Variabili continue: se può assumere come valori ogni possibile numero reale incluso in un continuum infinito.

Scale di misura di una variabile (Stevens, 1951)

• Scala nominale
• Scala ordinale
• Scala a intervalli
• Scala a rapporti

Scala nominale

Proprietà dei numeri: classificazione = attribuzione di ogni caso ad una classe o categoria definita in base ad una certa caratteristica (ad ogni categoria della variabile associo un numero ed ogni numero è un simbolo che esprime soltanto la diversità tra le classi).

Esempio: nazionalità – 1=italiano / 2=francese / 3=inglese.

Variabile dicotomica: definita da due sole categorie (es. genere).

Operazioni matematiche: conteggio delle frequenze.

Scala ordinale

Proprietà dei numeri: ordine = disporre o classificare gli eventi secondo un ordine (il numero rappresenta la posizione e non la quantità posseduta).

Esempio: scale di valutazione (bassa/media/alta) – fasce di età (bambino/preadolescente/adolescente).

Operazioni matematiche: conteggio delle frequenze.

Scala ad intervalli

Proprietà dei numeri: il numero rappresenta la quantità posseduta ma è arbitrario poiché la scala non possiede uno zero assoluto, può avere uno zero convenzionale. Può assumere valori sia positivi che negativi.

Quantificazione = classificare secondo un ordine quantificando le differenze (ad ogni modalità della variabile associo un numero secondo una determinata grandezza).

Operazioni matematiche: uguale, minore, maggiore, più, meno, per.

Scala a rapporti

Proprietà dei numeri: quantificazione = lo zero reale corrisponde a una reale assenza della caratteristica. Non può assumere valori negativi.

Operazioni matematiche: uguale, minore, maggiore, più, meno, per, diviso.

Esempio: età/tempi di reazione/numero di… (figli, esami sostenuti, libri letti).

Operatori e operazioni

Variabile categoriale nominale = frequenze.

Variabile ordinale =, <, >, ordinamento.

Variabile metrica ad intervalli =, <, >, +, -, x, quantificazione.

Variabile metrica a rapporti =, <, >, +, -, x, :, quantificazione.

Esempi di scale

• Televisori: scala a rapporti.
• Marca dell’auto: scala nominale.
• Opinione sulla pena di morte: scala nominale (variabile dicotomica).
• Soddisfazione professionale: scala a intervalli.
• Denaro speso per le vacanze: scala a rapporti.
• Libri letti negli ultimi tre mesi: scala a rapporti.
• Proprietà di immobili: scala a rapporti.
• Reddito: (variabile calcolata in euro in base allo stipendio mensile) - scala a rapporti (reddito zero= nessun reddito, 2000 euro ecc.) - scala ordinale (reddito basso/reddito medio-basso/reddito basso) - scala nominale dicotomica (superiore o inferiore a 800 euro).

Scala Likert

Singolo item = ordinale / somma delle risposte = intervalli.

Opzioni di risposta = da 1 a 5, avere numeri dispari fa sì che ci sia una risposta nel mezzo neutra (darne di numero pari “costringe” a prendere una posizione).

Item reversed: prima di fare l’operazione di somma faccio l’inversione del punteggio di ogni item (se si mette 2, do 4).

Verifica

1) I risultati ottenuti ad un test di profitto composto da 10 domande con risposte a scelta multipla (una sola corretta) possono essere espressi attraverso diverse scale di misura. In che modo?

• Scala a rapporti (risposte corrette da 0 a 10).
• Scala nominale dicotomica (insufficiente vs sufficiente).
• Scala ordinale (bassa competenza (0-3) \media (4-7) \alta (8-10)).

2) Ad un gruppo di 30 bambini di 10 anni viene presentato una prova di scrittura (vengono dettate 25 parole) e si valutano gli errori commessi e i tempi impiegati nello scrivere ciascuna parola. Indicare le variabili oggetto di studio e le loro caratteristiche.

• Variabili: errori commessi e tempi impiegati.
• Errori: variabile quantitativa discreta (scala a rapporti).
• Tempo: variabile quantitativa continua (scala a rapporti).

Descrivere i dati

Statistica descrittiva

Strumenti che ci permettono di rappresentare e descrivere l’insieme delle nostre misurazioni.

Distribuzioni di frequenza

Si fanno quando le variabili sono misurate su scale qualitative, quindi nominali e ordinali.

Frequenza assoluta

La frequenza misura quante volte una certa modalità è stata osservata nel campione.

• Sia X una generica variabile che si intende misurare.
• Precisate le modalità in cui si articola la variabile oggetto di studio, si dice frequenza assoluta il numero nj di unità che presentano la modalità.
• Esempio: genere= maschio/femmina – si contano le frequenze assolute nelle categorie.

Distribuzione di frequenza assoluta

L’insieme delle modalità della variabile e le frequenze di ciascuna modalità produce la distribuzione di frequenza dei dati.

Distribuzione di frequenza relativa

Si chiama frequenza relativa di una modalità Xj la frazione o proporzione di unità statistiche che presentano tale modalità: si ottiene facendo un rapporto tra la frequenza di ciascuna categoria e il totale di tutte le osservazioni.

Distribuzione di frequenza cumulata

Frequenza cumulata assoluta: la somma delle frequenze assolute sino alla modalità considerata.

Frequenza cumulata relativa: la somma delle frequenze relative sino alla modalità considerata.

Verifica

1) Ad un campione composto da 10 adulti viene fatto studiare un brano complesso. Attraverso una prova di ricordo libero, viene poi chiesto loro di rievocare tutte le frasi complete che riescono a ricordare. Si ottengono i seguenti risultati: 12, 15, 17, 15, 12, 20, 16, 15, 16, 14. Calcolare frequenza semplice e cumulata.

Indici di tendenza centrale

Consentono di sintetizzare una distribuzione di dati con un singolo valore: moda, mediana, media.

Moda

• Si può utilizzare per variabili misurate su tutte le scale.
• È rappresentata dalla categoria o dal valore più frequente della distribuzione osservata.
• Si indica con Mo., Mod.

Mediana

• Si può utilizzare solo per variabili misurate almeno su scala ordinale.
• È rappresentata dal valore che occupa la posizione centrale della distribuzione osservata (valore al di sopra o al di sotto del quale sta il 50% dei casi).
• Si indica con Me., Mdn.
• Per calcolare: ordinare i casi in modo crescente, calcolare la frequenza cumulata, calcolare la posizione.

Media

• È data dalla somma delle misure osservate diviso il numero delle osservazioni fatte (totale dei casi).
• Si indica con M (y) per i campioni / m greca quando ci si riferisce alla popolazione.
• Il calcolo della media è appropriato solo per variabili quantitative.
• È sempre compresa tra il minimo e il massimo dei valori osservati (internalità).
• La somma degli scarti della media è sempre uguale a zero.
• Eccezione: quando i valori hanno frequenze diverse si moltiplica ogni valore per la sua frequenza, poi si sommano tutti come nei casi generici.
• La media è il centro della distribuzione e risente delle variazioni fatte dai valori anomali “outlier” (=quei valori molto al di sotto o al di sopra degli altri). La media tende a spostarsi nella direzione della coda più lunga della distribuzione. In questi casi, la tendenza centrale della distribuzione è meglio rappresentata dalla mediana. Oppure si calcola la media eliminando i valori estremi.

Indici di dispersione o di variabilità

• Campo di variazione
• Deviazione standard
• Devianza
• Coefficiente di variazione
• Varianza

Campo di variazione (range)

Il campo di variazione è dato dalla differenza tra il valore maggiore e quello minore della distribuzione di frequenza osservata. Poco usato perché trascura la maggior parte dell’informazione disponibile e risente dei valori estremi.

Devianza

È la somma degli scarti dalla media al quadrato. Elevando al quadrato trascuriamo il segno degli scarti. L’unità di misura è il quadrato di quella della variabile.

Varianza

• Indice unico e sintetico sulla variabilità (si calcolano gli scarti dei valori osservati dalla media, elevati al quadrato si fa una media di questi scarti).
• Proprietà: sempre maggiore o uguale a zero, non è mai negativa. Minore è la varianza, più i casi sono concentrati attorno alla media. Maggiore è la varianza, più i casi sono dispersi attorno alla media.

Deviazione standard

Radice quadrata della varianza: indice di dispersione con unità di misura uguale alla media. Misura la dispersione intorno alla media. Fortemente influenzata dai dati anomali.

• Proprietà: maggiore o uguale a zero. s=0 solo quando tutte le osservazioni hanno lo stesso valore. Più grande è la variabilità intorno alla media, maggiore è il valore di s. Quando ci si riferisce al campione si indica con s, quando ci si riferisce alla popolazione si indica con sigma.

Coefficiente di variazione

Consente di confrontare la variabilità di due o più distribuzioni. Si calcola dividendo la deviazione standard per la media (indice di variabilità relativa). Il valore ottenuto viene espresso in percentuale, moltiplicandolo per cento. Con questo indice è possibile fare confronti tra distribuzioni in termini di variabilità assoluta e relativa.

Scale di misura quantitative

Scale di misura quantitative: scala ad intervalli e scala a rapporti. Le scale ordinale e nominale, non essendo possibile calcolare la media, non possiamo avere nessuna misura che sintetizza la variabilità tramite le deviazioni dall’indice di tendenza centrale.

Verifica

1) In una ricerca sull’ansia da prestazione condotta da uno psicologo dello sport su un gruppo di 12 atleti professionisti sono stati registrati i seguenti punteggi ottenuti somministrando un questionario (punteggio da 0 a 20): 6, 6, 7, 13, 7, 9, 9, 7, 11, 7, 11, 8. Calcolare le frequenze, gli indici di tendenza centrale e la deviazione standard.

Calcolo indici di tendenza centrale

Moda: valore più frequente della distribuzione Mo= 7.

Mediana: 12/2 < PosMe < (12/2) +1 … 6 < PosMe < 7 Me= 8.

Media: M= 2(6) +4(7) +1(8) +9(2) +11(2) +13(1) = 114 M= 101/12 = 8,42.

Calcolo deviazione standard

Primo metodo

s = 54,88/12 = 4,57

s = √4,57 = 2,13

Secondo metodo

s = 905/12 – (101/12) = 75,4 – 70,9= 4,5

s = √4,5 = 2,13

Esercizi

Risolvendo un set di prove di false credenze, un gruppo di 17 bambini di tre anni ottiene i seguenti risultati: 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 10, 10. Calcolo varianza e deviazione standard.

Descrivere i dati

Indici di posizione

Forniscono informazioni sul valore della variabile osservata, al di sotto del quale ricade una certa proporzione di osservazioni della distribuzione:

• Quartili
• Decili
• Percentili

La variabile deve essere misurata almeno su una scala ordinale.

Per il calcolo:

• Ordinare in senso crescente le modalità o valori della variabile.
• Calcolare le frequenze cumulate.
• Calcolare la posizione del quartile/decile/percentile con le apposite formule.
• Cercare nella distribuzione il valore corrispondente alla posizione trovata.

Quartili

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali (sono 3)

• 1° quartile (o inferiore): valore sotto il quale ricade il 25% dei casi.
• 2° quartile (o mediano): valore sotto il quale ricade il 50% dei casi.
• 3° quartile (o superiore): valore sotto il quale ricade il 75% dei casi.

Decili

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in dieci parti uguali (sono 9)

• 1° decile: valore sotto il quale ricade il 10% dei casi.
• 2° decile: valore sotto il quale ricade il 20% dei casi.
• 9° decile: valore sotto il quale ricade il 90% dei casi.

Percentili

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in cento parti uguali (sono 99)

• 24° percentili: valore sotto il quale ricade il 24% dei casi.
• 89° percentile: valore sotto il quale ricade il 89% dei casi.

Standardizzazione

Questa operazione consente di definire la posizione di un soggetto all’interno di una distribuzione di frequenza e, dunque, di:

• Confrontare due prestazioni dello stesso soggetto entro distribuzioni diverse.
• Confrontare le prestazioni di soggetti diversi in differenti distribuzioni.

Punti zeta

Trasformando i valori X in valori Z, esprimiamo tali valori come distanze dalla media usando come unità di misura la deviazione standard.

Z= la distanza dalla media del valore X.

Distanza espressa in deviazioni standard.

Un punto zeta fornisce indicazioni attraverso valore e segno:

• Valore: indica la distanza del punteggio dalla M in s.
• Segno positivo: indica che il punteggio è sopra M.
• Segno negativo: indica che il punteggio è sotto M.

Rappresentazioni grafiche

• Grafico a barre
• Istogramma
• Box-plot

Grafico a barre

Rappresentazione grafica per una variabile qualitativa. Altezza delle barre = al numero di osservazioni (frequenza assoluta).