Fluidodinamica
Gradiente
∇u = du/dx î + dv/dy ĵ + dw/dz k̂
Divergenza
∇⋅V̅ = du/dx + dv/dy + dw/dz
V⋅∇ = u d/dx + v d/dy + w d/dz
Derivata sostanziale
DU̅/Dt = d/dt + (V̅⋅∇) U̅ =
Lungo x → Du/Dt = du/dt + u du/dx + v du/dy + w du/dz
Lungo y → Dv/Dt = dv/dt + u dv/dx + v dv/dy + w dv/dz
Lungo z → Dw/Dt = dw/dt + u dw/dx + v dw/dy + w dw/dz
Gradiente della divergenza di U̅
∇(∇⋅V̅) =
Lungo x = d2u/dx2 + d2v/dxdy + d2w/dxdz
Lungo y = d2u/dydx + d2v/dy2 + d2w/dydz
Lungo z = d2u/dzdx + d2v/dzdy + d2w/dz2
Equazione di bilancio locale della massa
dρ/dt + ∇⋅(ρU̅) = 0
Equazione di bilancio locale q.tà di moto
ρ DU̅/Dt = -ρ ∇(gz) - ∇p - ∇⋅τ
Eq. Navier Stokes
ρ DU̅/Dt = -ρ ∇(gz) - ∇p + μ[∇2U̅ + 1/3 ∇(∇⋅U̅)]
Eq. Eulero
Eq. Eulero (fluidi perfetti, μ=0) => ρ DU̅/Dt = -ρ ∇(gz) - ∇p
Equazioni della massa
1° Eq. massa in caso di moto stazionario (ρ non dipendente dal tempo) ∇⋅(ρU̅) = 0
2° Eq. massa moto incomprimibile (ρ = cost non dipende né dal tempo né dalle dist. spazio) ∇⋅U̅ = 0
Fluidodinamica
Gradiente
∇u = &partial;u/&partial;x + &partial;v/&partial;y + &partial;w/&partial;z
Divergenza
∇·&vec{v} = &partial;u/&partial;x + &partial;v/&partial;y + &partial;w/&partial;z
U - scalar nabla
U·∇ = U&partial;/&partial;x + V&partial;/&partial;y + W&partial;/&partial;z
Derivata sostanziale
DU/Dt = [d/dt + (&verb"v";)·∇] U
Lungo x → Du/Dt = du/dt + Udu/dx + Vdu/dy + Wdu/dz
Lungo y → Du/Dt = dv/dt + Udv/dx + Vdv/dy + Wdv/dz
Lungo z → Du/Dt = dw/dt + Udw/dx + Vdw/dy + Wdw/dz
Gradiente della divergenza di U
∇(∇·&vec{v}) =
Lungo x = &partial;2u/&partial;x2 + &partial;2/&partial;x&partial;y + &partial;2/&partial;x&partial;z
Lungo y = &partial;2/&partial;x&partial;y + &partial;2v/&partial;y2 + &partial;2v/&partial;y&partial;z
Lungo z = &partial;2/&partial;x&partial;z + &partial;2v/&partial;y&partial;z + &partial;2w/&partial;z2
Equazione di bilancio locale della massa
&partial;ρ/&partial;t + ∇ · (ρv) = 0
Equazione di bilancio locale qtadi moto
ρDu/Dt = -∇(gz) - ∇p - ∇τ
Eq. Navier Stokes
ρDu/Dt = -ρ∇(gz) - ∇p + μ [∇2v + 1/3∇(∇·v)]
Eq. Eulero
Eq. Eulero (fluidi perfetti, μ=0) ρDu/Dt = -ρ∇(gz) - ∇p
Equazioni della massa
1o Eq. massa in caso di moto stazionario ∇ · (ρv) = 0
2o Eq. massa moto incomprimibile ∇ · v = 0
Numero di Reynolds
Re = PWD / μ
Sforzo
q = σtn
Pressione
P = 1/3 Tr(σ) = -1/3 (σxx + σyy + σzz)
Principio di Pascal del volo in quiete
σ = σxx τyx τzx τxy σyy τzy τxz τyz σzz σ1
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