Riassunto Calcolo numerico 2

Calcolo numerico

Introduzione

Calcolo numerico è una branca della matematica che si occupa di sviluppare algoritmi per risolvere problemi numerici. I metodi numerici sono utilizzati per approssimare soluzioni di equazioni matematiche complesse che non possono essere risolte analiticamente. Questi metodi si basano su una rappresentazione discreta dei problemi continui e sono essenziali per l'analisi numerica.

Funzioni polinomiali

Le funzioni polinomiali sono utilizzate frequentemente nel calcolo numerico per approssimare altre funzioni. Una funzione di forma polinomiale può essere utilizzata per l'integrazione e la derivazione. Il compito di approssimare una funzione con un polinomio è noto come interpolazione.

Interpolazione

L'interpolazione è il processo di determinare una funzione polinomiale che passa attraverso un insieme dato di punti $(x_i, y_i)$. Questa tecnica è utilizzata per predire l'andamento dei dati in applicazioni come la finanza e la fisica.

Scelta dei criteri

Il criterio per scegliere la funzione polinomiale migliore per approssimare i dati si basa sull’interpolazione. L'idea è di trovare una funzione $y = f(x)$ che soddisfi i dati $(x_i, y_i)$.

Interpolazione polinomiale

L'interpolazione polinomiale richiede che il polinomio soddisfi condizioni specifiche sui nodi di interpolazione. Questi nodi sono i punti attraverso cui il polinomio deve passare. La rappresentazione del polinomio di interpolazione può essere effettuata con il metodo di Lagrange.

Polinomi a tratti

I polinomi a tratti sono usati nella grafica e nella risoluzione di problemi di integrazione e differenziazione. Questi polinomi sono rappresentati come una serie di segmenti polinomiali, ciascuno dei quali è valido su un intervallo specifico.

Rappresentazione polinomiale

Un polinomio può essere rappresentato in forma monomiale, cioè come una somma di termini potenza di una variabile. In MATLAB, il comando c = polyfit(x, y, n) può essere utilizzato per memorizzare i coefficienti di un polinomio interpolante di grado $n$.

Valutazione del polinomio

Per valutare il polinomio in un punto qualsiasi, si utilizza la funzione p = polyval(c, z). Questa funzione assume i coefficienti memorizzati nel vettore c e restituisce il valore del polinomio valutato nei punti specificati da z.

Problemi di condizionamento

Più alto è il grado del polinomio, più il problema è mal condizionato. Ciò significa che piccoli cambiamenti nei dati possono portare a grandi variazioni nel polinomio interpolante.

Rappresentazione di Lagrange

La rappresentazione di Lagrange del polinomio di interpolazione è un metodo per costruire un polinomio interpolante che passi attraverso un insieme dato di punti nodali distinti. Questo metodo utilizza polinomi di grado $n$ per rappresentare il polinomio interpolante.

Poiché per ogni nodo $x_i$ esiste un polinomio $L_i(x)$ tale che $L_i(x_i) = 1$ e $L_i(x_j) = 0$ per $i \neq j$, è possibile interpolare i dati utilizzando la somma ponderata di questi polinomi di Lagrange.