Riassunti serie numeriche analisi II De Angelis Elena e Serra Enrico

Serie

Data successione di numeri reali {a_n} e costruita successione somme parziali {S_n}, si definisce serie di termine generale a_n come: lim S_n = ∑ a_n.

Carattere serie

1. Lim S_n = numero reale finito L. In tal caso ∑ a_n è serie convergente e sua somma vale L.
2. Lim S_n = +∞ la serie si dice divergente positivamente.
3. Lim S_n = -∞ si dice divergente negativamente.
4. Lim S_n non esiste si dice serie irregolare o indeterminata.

Sia a₁ = 1, a₂ = 1, ..., a₁₀₀ = 100. La successione somme parziali {S_n} associata è {a_n}.

S₁ = 1.

S₂ = 1 + 1 = 2.

S₃ = 1 + 1 + 1 = 3.

S_n = n(n+1)/2.

Carattere

Lim S_n = lim n(n+1)/2 = +∞ diverge positivamente.

Talvolta invece di sommare a partire da 1 si parte da k: ∑ a_n e ∑ a_n.

Attenzione: il risultato non cambia se si trascura un numero finito di termini.

Serie

Data successione di numeri reali {a_n} e costruita successione somme parziali {S_n}, si definisce serie di termine generale (o come):

Caratteri serie

1. È numero reale finito L. In tal caso si è serie convergente e sua somma vale L.
2. Le serie si dice divergente positivamente.
3. Si dice divergente negativamente.
4. Si dice serie irregolare o indeterminata.

Sia a₁ = 1; a₂ = 2; ..., a₁₀₀ = 100. La successione somme parziali {S_n} associata è {a_n}:

S₁ = 1.

S₂ = 1 + 2 = 3.

S₃ = 1 + 2 + 3 = 6.

Carattere

Talvolta invece di sommare e partire dal e Non ha senso cercare. Il contatore non cambia se si trascura un numero finito di termini.

Serie a segno costante

Serie a segno costante: a termini positivi, a termini negativi.

∑ a_n si dice a segno costante se per ogni n ∈ ℕ i termini della successione numerica {a_n} hanno tutti lo stesso segno, quindi o tutti positivi o tutti negativi.

In particolare

Serie a termini positivi: per ogni n ∈ ℕ: a_n > 0" " negativi: " " n ∈ ℕ: a_n < 0.

Nello specifico

Una serie è a termini non negativi se termini successione {a_n} n ∈ ℕ sono non negativi (cioè positivi o nulli), cioè se, per ogni n numero naturale, a_n ≥ 0.

A termini non positivi se termini successione {a_n} n ∈ ℕ sono non positivi, cioè, per ogni n naturale, a_n ≤ 0.

Serie definitivamente positive, definitivamente negative

Definitivamente: da un certo punto in poi. Tale punto lo indichiamo con K.

Esempio

Q₁ = 5, Q₂ = -4, …, Q₆ = 0, Q₇ = 1, Q₈ = 2, … con n > 8.

Questa successione è definita positiva, da un certo indice in poi Q_n ≥ 1 è a termini positivi. Da Q_c = 0 in poi è a termini non negativi. Stessa diceria serie definitivamente negative.

Una serie a termini positivi (o defin. positivi) converge o diverge positivamente.

Una serie a termini negativi (o defin. negativi) converge o div. negativi.

Capire se serie è a termini di segno costante

1. St