Riassunti di psicometria

Concetti chiave psicometria

Prima parte: elementi di base per la psicometria

• Teoria degli insiemi
• Relazioni e funzioni
• Elementi di calcolo combinatorio
• Teoria della misurazione e scale di misura

Insiemistica

Insieme X

Raggruppare in un unico ente oggetti distinti 

Insieme vuoto

Insieme con 0 elementi  A   = insieme: A   {} = elemento

Insieme potenza P(X)

Insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme X  : P(x) P() = {, {}} X : X P(x){ }

Insieme ordinato e insieme ordinario

Insieme ordinato: ordine rilevante, ripetizioni ammesse. Insieme ordinario: ordine NON rilevante, ripetizioni NON ammesse.

( ) { } → Insieme ordinato insieme ordinario → (a, b) {a, {a, b}} → (a, b, c) {a, {a, b}, {a, b, c}}

Cardinalità di un insieme

Numero che indica la quantità di elementi di un insieme.

Card(X) qq

Card(P(X)) 2

Card(AxB) card(A) x card(B) cardinalità del prodotto cartesiano.

Card(AxBxC…x…Z) card(A) x card(B) x card(C) … x … card(Z)

Cardinalità del prodotto cartesiano a + dimensioni 

Card () = 1 ,1

Card P({}) = 2 = 2 {} },

Card P({}) X P({}) = 2 x 2 = 4 {,}, {, {}}, {{}, {{}, {}}

Attenzione

Card di una successione che numeri cardinali  - inizia con - successore = include nel successivo tutti i precedenti.

Metodi d’identificazione di un insieme

1. Metodo dell’elencazione

X = [soggetto1, soggetto2, soggetto3]

• L’ordine non è rilevante
• La ripetizione del non è ammessa

2. Metodo della specificazione 

X = [n : p(n)] n Q ovvero in X vi sono tutti gli elementi di Q che hanno la proprietà p.

N.B. A = [1,2,3,5,7] definizione estensionale  definizione intensionale A = [x : x è un numero primo minore di 10] x N

3. Metodo della trasformazione

Trasformare uno o più insiemi in un altro insieme attraverso una serie di operazioni  X = A B (generica operazione)  Ex. X = [a,b,c] [d,e] = [a,b,c,d,e]

Operazioni insiemistiche

Operazione insiemistica: operazione che combina due (o più) insiemi a generarne un terzo.

Which?  Unione  Intersezione  Differenza - o  Differenza simmetrica (somma booleana) c Complementarietà Prodotto cartesiano X

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano: operazione tra insiemi che dà origine a un insieme di insiemi ordinati ( ) con il primo elemento appartenente al primo fattore e il secondo al secondo fattore e così via.

(Coppie o n-ple a seconda che il p.c. sia a 2 o più dimensioni) N. B.   A X =

Insieme potenza P(X) Prodotto cartesiano AxB Relazione binaria AB

1 insieme Tra 2 insiemi Tra 2 insiemi

Sottoinsiemi indicati con { } Insiemi indicati con ( ) Insiemi indicati con ( ) → → →

Risultato singoletti, coppie, Risultato coppie Risultato coppie triple, … 

Relazione binaria Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano a più dimensioni.

Chiusura di un’operazione in un insieme

Per arbitrarie coppie di elementi di un insieme, il risultato dell'operazione appartiene all'insieme stesso.

Operazione interna all’insieme Insieme chiuso alla data operazione  N Z Q R

(x N) ✓ ✓ ✓ ✓

+  ✓ ✓ ✓

- q < n in (n – q) ✓ ✓ ✓ ✓

x ✓ ✓

/ ✓ ✓ ✓ ✓

2Xx ✓

Successione

Successione: elenco ordinato e infinito di elementi (termini della successione) ottenuti con una specifica operazione (successore).

Successione Successore

0,1,2,3,4,5,6,7,… N = N + 1 k+1 k

0,1,1,2,3,7,22, … N = (N x N ) + 1 K+1 K k-1

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, … N = N + N << Serie di Fibonacci >> k+1 k k-1

Serie

Somma degli elementi di una successione.

Relazioni insiemistiche

Criteri di confronto tra 2 o più elementi.

Rappresentazioni grafiche

Relazione insiemistica Proprietà

Appartenenza Irriflessiva, asimmetrica, non transitiva

Inclusione Riflessiva, antisimmetrica, transitiva

Equivalenza Riflessiva, simmetrica, transitiva

Ordine Riflessiva/irriflessiva, simmetrica/asimmetrica, connessa/non connessa, transitiva

Appartenenza

Irriflessiva A : A A

Asimmetrica A,B  : se (A B) allora (B A) A,B   : (A B) (B A)

Non transitiva A,B,C   →: (A B) e (B C) non segue nulla.

Può essere sia che A sia elemento di C sia che non lo sia.

Inclusione

Riflessiva A : A A

Esistono insiemi A che hanno come sottoinsiemi se stessi.

Antisimmetrica A,B  : se (A B e B A) allora (A = B)

Transitiva A,B,C   : se (A B e B C) allora (A C)

N.B.

“Cosa posso dedurre dalla tabella di una relazione?”

Riflessiva SI

Simmetrica SI

Antiriflessiva SI

Asimmetrica SI

Antisimmetrica NO

Transitiva NO

Connessa SI

Which?

 Appartenenza: relazione tra gli elementi e l’insieme che li raggruppa   

a X X a X a

a non è un elemento di X X contiene a X non contiene a 

Inclusione: relazioni tra sottoinsiemi e l’insieme da cui essi provengono  

Inclusione Inclusione stretta (gli insiemi non possono essere uguali)

  

a X X a X a

a non è un sottoinsieme di X X è un sovrainsieme di a X non è un sovrainsieme di a

N. B.  Così come è scritto nell’insieme elemento  Aggiunta di una { } sottoinsieme

Disgiunzione

Non esistono elementi di un insieme che siano anche elementi dell’altro.

Indipendenza insiemistica

Dati due insiemi e almeno 4 elementi, questi sono disposti in modo tale che ve ne siano almeno uno comune a entrambi gli insiemi, almeno uno appartenente all’uno ma non all’altro e almeno uno esterno a entrambi.

➔ Insiemi non vuoti, parzialmente sovrapposti ma non esaustivi del dominio.

Equivalenza

 Equivalenza: relazioni che suddividono il dominio in classi di equivalenza (partizione di un insieme).

➔ Insiemi non vuoti, disgiunti ed esaustivi del dominio.

Classe di equivalenza

Ogni elemento dell’insieme partizione che contiene elementi che rispettano i criteri della relazione di equivalenza data (R, S, T).

Ordine

Relazioni che suddividono il dominio gerarchicamente.

Which?

Ordine stretto parziale: transitiva, asimmetrica, non connessa, non ammette parimerito.

Ordine stretto totale: transitiva, asimmetrica, connessa.

Ordine largo parziale: transitiva, riflessiva, non connessa, ammette il parimerito e relazioni di equivalenza.

Ordine largo totale: transitiva, riflessiva, connessa.

Equivalenza Ordine

1 tipo 4 tipi

Classi di equivalenza Organizzazione gerarchica

Proprietà delle relazioni

Riflessiva Antiriflessiva

⇔∀a ∈ A, ¬ aRa R è antiriflessiva

“Una relazione R si dice antiriflessiva se e soltanto”

“Una relazione R si dice riflessiva se e soltanto se se ogni elemento di A non è in relazione con se ogni elemento di A è in relazione con se stesso” stesso”

Simmetrica Asimmetrica

“Una relazione R si dice simmetrica se e soltanto se, per qualsiasi elemento a che è in relazione con b, allora è vero anche che b è in relazione con a”

“Una relazione R si dice asimmetrica se e soltanto se, per qualsiasi elemento a che è in relazione con b, allora è vero che anche b non è in relazione con a”

Relazione vale in tutti i due sensi Relazione vale sono in una direzione

Antisimmetrica

“Una relazione R si dice antisimmetrica se e soltanto se, per qualsiasi elementi a e b tali per cui a è in relazione con b e b è in relazione con a, allora è vero anche che a è uguale a b”

Relazione vale in tutti e due i sensi

Transitiva

“Una relazione R si dice transitiva se e soltanto se, per qualsiasi elementi a, b e c, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora è vero anche che a è in relazione con c”

Connessa

“Una relazione R si dice connessa se e soltanto se, per qualsiasi elementi a,b diversi tra loro, o è vero che a è in relazione con b oppure è vero che b è in relazione con a”

Possono esserci entrambe le relazioni ma ne basta una per essere connessa.

Logica proposizionale

Proposizione logica

Qualsiasi frase di senso compiuto che sia indubbiamente V o F.

Quantificatori

Simboli che specificano per quanti elementi del dominio è valida una certa proprietà.

Which?

 Esistenziale Almeno 1 elemento possiede la proprietà

 Universale Ogni elemento possiede la proprietà

Connettivo logico

Connettivo logico: operatore che unisce due (o più) proposizioni a crearne una terza.

Which?  Congiunzione  Disgiunzione  Implicazione logica  Doppia implicazione logica  Negazione →

Calcolo insiemistico Calcolo logico →

Proprietà operazioni insiemistiche proprietà logica proposizionale

∪ ∨

∧ ∩

c ¬

⇔ =

Congiunzione logica e disgiunzione logica

Congiunzione logica: vera solo nel caso in cui le proposizioni fattori sono entrambe vere; falsa nel caso in cui almeno una delle due proposizioni è falsa.

Disgiunzione logica: vera nel caso in cui almeno una delle due proposizioni fattori è vera; falsa nel caso in cui le proposizioni fattori sono entrambe false.

 p q p q  p q p q

Falso Falso Falso Falso Falso Falso

Falso Vero Falso Falso Vero Vero

Vero Falso Falso Vero Falso Vero

Vero Vero Vero Vero Vero Vero

Implicazione logica e bi-implicazione

Implicazione logica: falsa nel caso in cui antecedente è vera e la conseguente è falsa; vera in tutti gli altri casi.

Bi-implicazione – equivalenza logica: vera nel caso in cui le due proposizioni fattori sono entrambe vere o entrambe false; falsa negli altri casi.

  p q p q p q p q

Falso Falso Vero Falso Falso Vero

Falso Vero Vero Falso Vero Falso

Vero Falso Falso Vero Falso Falso

Vero Vero Vero Vero Vero Vero

Negazione

→ Negazione unica unaria: vera se proposizione da cui è formata è falsa; falsa se proposizione da cui è formata è vera  p p

Vero Falso

Falso Vero

Tautologia

Tautologia (verità logica): proposizione sempre vera indipendentemente dalle premesse.

  (A B) A

  A A  A   A) A (A

Vero Falso Vero

Falso Vero Vero

Contraddizione

Contraddizione (falsità logica): proposizione sempre falsa indipendentemente dalle premesse.

  A A  A   A) A (A

Vero Falso Falso

Falso Vero Falso

I numeri

Which? N Cardinalità di specifici N = [0,1,2,3,4, …, n, …] 1 5 18

Naturali insiemi (+)+

Z Z = […, -n, …, -3,-2,-1,0,1,2,3 ,…,n,…] -206 15

Interi –+

Q –  

Razionali 2/3 0,15+

∧(nQ = [ : (z Z) N )]

Frazioni (con la virgola) 7 -23

- finiti o infiniti

- periodici

Non frazionari 2

Irrazionali - infiniti

- non periodici  2 

R Razionali + irrazionali R = Q U [x : x [numeri irrazionali] ] 36

Reali 5/6 e -8,2

⊆ ⊆ ⊆

N Z Q R

Numerabilità degli insiemi

Cardinalità finita numero finito di elementi.

Insiemi contabili: cardinalità numerabile numero infinito di elementi e N, Z, Q card(X) = N.

Insiemi non numerabili: cardinalità infinita Numero infinito di elementi e R card(X) = R.

Card(R) > Card (N)

Le funzioni

Proprietà delle relazioni

Esaustiva della prima dimensione Esaustiva della seconda dimensione

Coinvolge negli abbinamenti tutti gli elementi di A coinvolge negli abbinamenti tutti gli elementi di B.

Determinativa sulla prima dimensione Determinativa sulla seconda dimensione

Ad ogni elemento di B abbina al massimo un elemento di A; ad ogni elemento di A abbina al massimo un elemento di B.

Proprietà delle funzioni

Esaustiva della prima dimensione Determinativa sulla seconda dimensione.

Coinvolge negli abbinamenti tutti gli elementi di A; ad ogni elemento di A abbina al massimo un elemento di B.

Da ogni elemento di A parte una e una sola freccia verso B.

Relazione

Criterio di confronto tra più elementi.

➔ Binaria = regola che collega alcuni elementi di un insieme ad alcuni elementi di un altro insieme.

Prima dimensione

Seconda dimensione

Funzione

Funzione: regola che collega ciascun elemento del 1° insieme ad un solo elemento del 2° insieme  →) (da ogni a A parte una sola.

Dominio Codominio

Argomenti elementi della prima dimensione (A) Dominio

Valori elementi della seconda dimensione (B) Codominio

Immagini sottoinsieme di B costituito da tutti gli elementi  f(X) = Y che sono posti in collegamento con qualche Codominio elemento di X

Controimmagini sottoinsieme di A costituito da tutti gli elementi  -1f (Y) = X che sono posti in collegamento con qualche Dominio elemento di Y

Proprietà delle funzioni

Esaustiva della prima dimensione Determinativa sulla seconda dimensione

Ne consegue che

Esaustiva 1° Esaustiva 2° Determinativa Determinativa 1° 2°

Relazione ✓ ✓

Funzione ✓ ✓ ✓

F. iniettiva ✓ ✓ ✓

F. suriettiva ✓ ✓ ✓ ✓

F. biunivoca Iniettiva Biunivoca (iniettiva + suriettiva)

1 sola freccia da e verso

Suriettiva

Dominio e codominio completi

Né iniettiva né suriettiva

Tipologie di funzioni

Funzione d’insieme: gli elementi che compongono il dominio e il codominio sono insiemi.

Funzione empirica: la combinazione degli elementi della prima dimensione con quelli della seconda dimensione ha un’origine empirica.

Coppie ordinate

La funzione numerica: gli elementi che compongono il dominio e il codominio sono numeri.

Coppie ordinate

Assi cartesiani → insiemi di N.B. → →

What dominio = N discreti dominio = R continui

Layout serie di punti su un piano curve

Proprietà della funzione numerica

Monotona: crescente decrescente.

Lineare: a valore in cui retta interseca a = 0 intercetta asse delle y retta passante per l’origine (costante additiva) traslazione.

b valore dell’angolo della retta b = 0 coefficiente angolare rispetto a x - inclinazione retta parallela all’asse x (costante moltiplicativa) dilazione Traslazione.

Funzione lineare con B (coefficiente angolare) = 1

➔ Sempre inclinazione a 45°

Dilazione

Funzione lineare con A (intercetta) = 0

➔ Sempre passante per l’origine

Sistemi relazionali

Sistema relazionale

Insieme in cui sono presenti 1 o più relazioni.

Dato un insieme A ed un certo numero di relazioni R ,R , …, R definite in A, si chiama 1 2 n sistema relazionale la struttura costituita da A ed R ,R , …, R e indicata con la seguente scrittura: 1 2 n

A = dominio della struttura

R , …, R = componenti della struttura 2 n

Tipo del sistema relazionale

Insieme ordinato (k ,k , …, k ) che indica il grado delle relazioni del sistema 1 2 n

Sistemi relazionali simili = stesso tipo

• Stesso numero di relazioni
• Coppie di relazioni dello stesso grado (binarie, ternarie, quaternarie …)

Le relazioni possono avere dominio diverso.

La tipologia di relazione può essere diversa.

 © , ©>→

A = [abitanti di Padova]; = “essere figlio di”; = “essere sposo di” <A,

Tipo (2, 2):

- n°2 relazioni

- stesso grado (binarie)

Sistemi relazionali empirici e sistemi relazionali numerici

Sistemi relazionali empirici Sistemi relazionali numerici

Dominio Insieme empirico Insieme numerico

Componenti Relazioni empiriche Relazioni/operazioni numeriche

Abitanti di Padova Numeri naturali

Figlio di, sposo di… <, =…

Insieme empirico e insieme numerico

Insieme empirico: collezione di oggetti o individui dotati di proprietà empiricamente controllabili.

Insieme numerico: collezione di numeri.

Relazione empirica e relazione numerica

Relazione empirica: qualsiasi relazione definita all’interno di un insieme empirico o che abbia un’origine empirica.

Relazione numerica: qualsiasi relazione definita all’interno di un insieme numerico o che abbia origine da una formula.

Sposo di… <, >, =…

Figlio di…

Operazione empirica e operazione numerica

Operazione empirica: qualsiasi operazione i cui operandi sono membri di un insieme empirico.

Operazione numerica: qualsiasi operazione i cui operandi ed il risultato sono membri di un insieme numerico.

Successore di… +, -, X, : …

Relazione-operazione

Grado n + 1 Grado n

R: (Addendo 1, addendo 2, risultato)

Sì (1,1,2), (1,2,3), (2,1,3), (3,4,7) 1+1, 1+2, 2+1, 3+4

No (2,4,7), (1,4,2), (3,8,8)

Ternaria Binaria

Non è possibile distinguere i sistemi relazionali a seconda che componenti = relazioni o operazioni.

Le strutture algebriche

Sistemi relazionali le cui componenti (relazioni) presentano proprietà algebriche specifiche.

Proprietà algebriche

• Associatività
• Commutatività
• Distributività
• Chiusura

Gruppi, anelli, campi, reticoli, corpi.

Campo

Campo: “Una struttura algebrica con un dominio X non vuoto e chiuso alle operazioni di unione e di complementazione viene definita campo”.

- Dominio X non vuoto 

- Chiuso a 

Il campo è chiuso a tutte le X (insieme dato) CAMPO c