Riasssunto teorico analisi 2

Limiti

Capitolo 1: Topologia e funzioni in dimensione n

Intorni sferici

Intorno sferico aperto di centro x e raggio r

Intorno sferico chiuso di centro x e raggio r

Se il limite esiste dev’essere indipendente dalla traiettoria della retta con coefficiente angolare

Sfera di centro x e raggio r, cui ci stiamo avvicinando

Punti interni, esterni e di frontiera

Continuità

Punti di accumulazione e punti isolati

Funzioni limitate

Insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati, connessi

Derivate

Formula rapporto incrementale

Funzioni differenziabili proprietà, gradiente

Gradiente: se tutta la funzione ammette derivate parziali e queste sono continue allora la funzione è di classe C

In sostanza possiamo ricondurci dal calcolo del differenziale al calcolo delle derivate parziali della funzione. Se ciò accade in un punto X allora la funzione è differenziabile

Convesso (connesso per segmento)

Concavo (connesso per poligonali)

Utilizzare la seguente formula quando si ha un vincolo su una funzione e si vuole calcolare il gradiente:

Sostituire il vincolo all’interno della funzione e procedere con la derivata prima

Dominio e insiemi di livello

Piano tangente

Gradiente “estendibile” per punto di applicazione

Se il gradiente è 0 il piano tangente sarà parallelo a Z=0

Ricordiamo che il gradiente ci fornisce informazioni sulla velocità con cui la funzione arriva in un punto.

Teorema Schwarz:

Le derivate miste di ordine superiore al 2 sono sempre uguali!!!

Capitolo 2: Massimi e minimi

Forme quadratiche

Matrice associata: xt y z t

Esempio calcolo punti max e min non vincolato

Cambiamento di coordinate in 2-3 dimensioni (circonferenza, cerchio, corona circolare)

Punti critici

Minimo globale

Massimo locale

Minimo locale

Se la funzione non è derivabile nel punto non si tratta di un punto critico

Sufficienti

Necessarie

Sufficienti

Estremi vincolati

Esercizio 2

I vincoli non saranno insiemi aperti e potranno essere insiemi limitati

Esempio metodo di parametrizzazione del vincolo circonferenze concentriche

L’unico punto stazionario vincolato della funzione f(x,y) è il punto P=(-1/2,1/4)

Esempio metodo moltiplicatori di Lagrange

Procedura per ricavare massimo e minimo relativi

Esercizio 1

Capitolo 3: Curve e campi vettoriali

Esempio:

Chiusa semplice (1 giro)

Chiusa non semplice (2 giri)

Sostegno: grafico della curva negli assi cartesiani

Integrali curvilinei

Parametrizzazioni

Proprietà degli integrali curvilinei di prima specie: linearità rispetto all’integranda;