Relazione Logica

Corso di logica, a.a. 2015-2016

Docente: L. Bellotti

Relazione di approfondimento

Gödel oltre l’incompletezza

La sfida fenomenologica contro il riduzionismo

Laura Pinato

Indice

• Introduzione 2
• La portata filosofica dell’incompletezza 3
• La critica di Gödel ai programmi riduzionisti 7
• Il ruolo della fenomenologia 9
• Oltre, ma non contro, Leibniz 12
• Conclusione 13
• Bibliografia 14

Introduzione

A partire dagli anni Quaranta, Kurt Gödel (1906 - 1978) si dedicò allo sviluppo di una visione filosofica che, sulla base dei suoi risultati in logica matematica, combinasse e sviluppasse alcune parti del pensiero di Platone, di Leibniz e, dalla fine degli anni Cinquanta, di Husserl.

In particolare lo sforzo fu in direzione di un ripensamento della posizione platonica in filosofia della matematica attraverso lo strumento della fenomenologia che Husserl forniva nei suoi scritti. Il Nachlass, che consiste in una serie di appunti e note di lezioni e manoscritti, contiene centinaia di pagine che trattano temi di filosofia della matematica, oltre che riflessioni di più ampio respiro filosofico, ma non fu mai pubblicato.

Nonostante l’attenzione e il tempo impiegato per la lettura dei testi di questi autori e per la riflessione filosofica, tuttavia le effettive pubblicazioni di Gödel sull’argomento sono poche e lasciano grande spazio all’interpretazione e forse anche al fraintendimento: quale Platone, quale Leibniz, quale Husserl Gödel ha in mente? Qual è il rapporto tra i suoi risultati sull’incompletezza e le sue intuizioni filosofiche?

Il mio obiettivo in queste pagine è quello di fornire una sintetica presentazione della posizione filosofica che Gödel esprime tra le pagine dei suoi lavori. In particolare farò riferimento a due articoli: “Is Mathematics Syntax of Language?” (vedi Gödel *1953/59) e “The Modern Development of the Foundations of Mathematics in the Light of Philosophy” (vedi Gödel *1961/?), oltre che alla preziosissima lettera a Leon Rappaport del 1962 (vedi Gödel 1962) e al classico “What is Cantor Continuum Problem?” (vedi Gödel 1947).

Per quanto riguarda la linea interpretativa farò riferimento a Richard Tieszen (vedi in particolare Tieszen 2011), che forse più di altri filosofi, negli ultimi anni, ha tentato una rivalutazione e uno sviluppo della posizione gödeliana, anche (e soprattutto) sulla base della testimonianza di Hao Wang, che, in particolare con il suo lavoro del 1996 A Logic Journey. From Gödel to Philosophy (vedi Wang 1996), ha dato un sostanziale contributo al chiarimento della posizione gödeliana certamente in filosofia della matematica, ma forse anche in filosofia, in un senso più generico.

1 Per la datazione e la catalogazione degli scritti di Gödel seguo l’edizione dell’opera completa citata in bibliografia pubblicata dalla Oxford University Press in cinque volumi, a cura di S. Feferman et al. (1986-2003). 2

1 La portata filosofica dell’incompletezza

Nella Gibbs Lecture del 1951 (vedi Gödel *1951), dei teoremi di incompletezza Gödel fornisce una riformulazione informale, utile per l’obiettivo che qui mi pongo.

Primo teorema di incompletezza

Qualunque sistema ben definito di assiomi e di regole di inferenza possa essere scelto, esistono sempre dei problemi diofantei, che il sistema stesso può esprimere, che sono indecidibili da quegli assiomi e da quelle regole, posto soltanto che nessuna proposizione contraddittoria sia da essi derivabile.

Secondo teorema di incompletezza

Per ogni sistema ben definito di assiomi e di regole di inferenza, la proposizione che asserisce la loro consistenza è indimostrabile a partire da questi assiomi e regole, posto che questi assiomi e regole siano consistenti e sufficienti per derivare una certa porzione dell’aritmetica finitistica.

Questa riformulazione della tesi dei due teoremi aggiunge alla formulazione standard almeno la possibilità della seguente considerazione: usando la nozione di sistema formale di Alan Turing, i teoremi di incompletezza mostrano che se si formula la matematica nei termini di macchine di Turing, allora un enunciato di Gödel non è in essa decidibile ed essa non può provare la propria consistenza.

Nel medesimo scritto Gödel riconosce che la dimostrazione di questi due teoremi fornisce possibilità cruciali anche per la filosofia, almeno per l’epistemologia e per la filosofia della mente. Infatti, a partire da questa riformulazione, esplicita un’implicazione centrale dei due teoremi formulata come una disgiunzione critica: o la mente umana supera infinitamente le potenzialità di una macchina finita, oppure esistono problemi diofantei assolutamente irrisolvibili. Gödel si augura di poter dimostrare il primo disgiunto matematicamente, filosoficamente e anche psicologicamente, per non dover ammettere il secondo: 3

Combining the proof of this result with Turing’s theory of computing machines, one arrives at the following conclusion: Either there exist infinitely many number theoretic questions which the human mind is unable to answer or the human mind contains an element totally different from a finite combinatorial mechanism (such as a nerve net acting like an electronic computer). I hope to be able to prove on mathematical, philosophical, and psychological [. . .] grounds that the second alternative holds. It follows from my results that a consistency proof for any part of mathematics containing number theory is impossible if in this proof one confines himself to concrete (i.e., empirically meaningful) combinatorial properties and relations of formulae considering formulae to be finite strings of symbols without meaning. (Atten 2006, p. 256–258)

Aver dimostrato che non si dà prova di consistenza per una qualsiasi parte della matematica contenente teoria dei numeri, se nella dimostrazione ci si limita a considerare le proprietà concrete combinatorie e le relazioni delle formule, oltre che le formule stesse, come entità finite che corrispondono a stringhe di simboli, non significa affatto aver dimostrato l’assoluta impossibilità di fondare le teorie matematiche o di risolverne i problemi “attualmente” non decidibili.

Conscio proprio di questo facile fraintendimento, nella lettera a Leon Rappaport del 1962, Gödel stesso sintetizza le principali implicazioni “concettuali”, che possono a buon ragione essere ritenute filosofiche, dei due teoremi, in perfetto accordo con quanto aveva già espresso nella Gibbs Lecture:

My theorems only show that the mechanization of mathematics, i.e. the elimination of the mind and of abstract entities, is impossible, if one wants to have a satisfactory foundation and system of mathematics. I have not proved that there are mathematical questions undecidable for the human mind, but only that there is no machine (or blind formalism) that can decide all number theoretical questions (even of a certain very special kind). Likewise it does not follow from my theorems that there are no convincing consistency proofs for the usual mathematical formalisms, notwithstanding that such proofs must use modes of reasoning not contained in those formalisms. What is practically certain is that there are, for the classical formalisms, no conclusive combinatorial consistency proofs (such as Hilbert expected to give), i.e. no consistency proofs that use only concepts referring to finite combinations of

2 Cfr. Tieszen (2011, p. 183). 4