Resistori in parallelo: esercizi

_Steven
di _Steven
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Scopri come calcolare il rapporto tra due resistori in parallelo, partendo dalla resistenza equivalente. Attraverso esercizi pratici, impara a risolvere problemi di fisica applicata, comprendendo le relazioni fondamentali tra resistenze e corrente.

Concetti Chiave

  • Due resistori in parallelo presentano la stessa differenza di potenziale, e la resistenza equivalente può essere calcolata tramite una specifica formula.
  • Il problema si basa sulla conoscenza della resistenza equivalente, che è pari a un terzo della resistenza maggiore, [math]R_1[/math].
  • La relazione tra le resistenze è stabilita attraverso l'equazione [math]\frac{1}{3} R_1 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}[/math].
  • Risolvendo l'equazione, si determina che il rapporto tra [math]R_1[/math] e [math]R_2[/math] è 2, il reciproco di [math]\frac{1}{2}[/math].
  • Un approccio alternativo per risolvere il problema utilizza una variabile [math]k[/math] per rappresentare il rapporto, semplificando ulteriormente i calcoli.

In questo esercizio vedremo come risolvere un problema di fisica in cui, noto il posizionamento di due resistenze e il valore della resistenza equivalente, è possibile risalire al rapporto tra le due resistenze.
A tal proposito, ricordiamo che due resistori in serie hanno la stessa intensità di corrente, mentre due resistori in parallelo hanno la stessa differenza di potenziale. Vediamo il testo dell'esercizio.

Testo dell'esercizio

Due resistori di resistenza
[math]R_1 > R_2[/math]
sono connessi in parallelo.
Sappiamo che la resistenza risultante è pari a
[math]\frac{1}{3}[/math]
di
[math]R_1[/math]
.
Si determini il rapporto tra
[math]R_1[/math]
e
[math]R_2[/math]
.

Svolgimento dell'esercizio

I resistori sono in parallelo: pertanto sappiamo che la resistenza equivalente è legata alle altre due da questa relazione:
[math]\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}[/math]
ovvero, sommando le due frazioni al membro di destra:
[math]\frac{1}{R_{eq}} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}[/math]
Passiamo ora ai reciproci:
[math]R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}[/math]
ma nel nostro caso la resistenza equivalente
[math]R_{eq}[/math]
vale
[math]\frac{1}{3} R_1[/math]
per ipotesi, perciò possiamo scrivere:
[math]\frac{1}{3} R_1 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}[/math]
Possiamo semplificare
[math]R_1[/math]
:
[math]\frac{1}{3} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}[/math]
da cui otteniamo, moltiplicando ambo i membri per
[math] R_1 + R_2 [/math]
:
[math]\frac{1}{3} R_1 + \frac{1}{3} R_2 = R_2[/math]
Spostando infine
[math] \frac{1}{3} R_2 [/math]
a destra si ottiene:
[math]\frac{1}{3} R_1 = \frac{3}{2}R_2[/math]
Perciò dividendo per
[math]R_1[/math]
ottengo
[math]\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}[/math]
perciò il rapporto cercato è
[math]2[/math]
, il reciproco di
[math] \frac{1}{2} [/math]
, perché era richiesto il rapporto tra
[math]R_1 [/math]
e
[math]R_2[/math]
.

Vediamo ora un altro modo per svolgere l'esercizio
Oppure più sinteticamente: detto

[math]k = \frac{R_2}{R_1}[/math]
il rapporto tra i due resistori, e applicando la formula per ricavare la resistenza equivalente:
[math]\frac{1}{3} R_1 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}[/math]
si ha, poiché
[math]R_2 = k R_1[/math]
,
[math]\frac{R_1 \cdot k R_1}{R_1 + k R_1} = \frac{R_1}{3}[/math]
[math]3 k R_1^2 = (1 + k) R_1^2[/math]
[math]3 k = 1 + k[/math]
Quest'equazione risolta porta a determinare
[math] k = \frac{1}{2} [/math]
, il cui reciproco è 2, il rapporto cercato.

Domande da interrogazione

  1. Qual è la relazione tra la resistenza equivalente e le resistenze in parallelo?

    2. La resistenza equivalente di due resistori in parallelo è data dalla formula \(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\), che si semplifica in \(R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\).

  2. Come si determina il rapporto tra due resistenze quando si conosce la resistenza equivalente?

    3. Se la resistenza equivalente è \(\frac{1}{3} R_1\), si può impostare l'equazione \(\frac{1}{3} R_1 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\) e, risolvendo, si ottiene il rapporto \(\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}\), il cui reciproco è 2.

  3. Qual è il risultato finale del rapporto tra \(R_1\) e \(R_2\)?

    4. Il rapporto tra \(R_1\) e \(R_2\) è 2, poiché si è determinato che \(\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}\), quindi \(R_1\) è il doppio di \(R_2\).

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