Quaderno di teoria - Analisi I, prof. Mora

Approssimazione di R in Q

³/₂ = 1,5; ¹/₃ = 0,3.

Proprietà dei R

Proprietà algebriche

Ordinamento, assioma di commutatività.

Proprietà algebriche: su R definite due operazioni, somma - prodotto, con proprietà:

• Commutativa.
• Associativa: (a+b)+c=a+(b+c).
• ∃0∈R; a+0=a.

Elemento neutro della somma.

• ∀a∈R ∃b∈R; a+b=0.

b=-a.

• Commutativa ∀a,b,...∈R.
• Associativa.
• ∃1∈R a⋅1=a, el. neutro moltiplicativo.
• ∀a∈R {0} ∃b∈R; a⋅b=1.

b=1/a.

• Distributiva: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c.

³/₂ = 1,5     ¹/₃ = 0,3     con 2 troviamo numeri con la virgola con n° finito di cifre dopo la virgola o numeri finiti con periodico.

In R dopo la virgola i numeri possiamo anche non avere periodicità. Es. π.

Approssimazione di R in Q con il ° di precisione che vogliamo, troncando la rapp. decimale.

Proprietà dei R

Proprietà algebriche e ordinamento

Assioma di commut. Prop. algebriche.

Su R definite due operazioni, somma - prodotto, con proprietà:

• Commutativa.
• Associativa: (a+b) + c = a + (b+c).
• ∃0 ∈ R: a+0 = a    elemento neutro della somma.
• ∀a ∈ R ∃b ∈ R: a+b = 0    b = -a.

• Commutativa.
• Associativa.
• ∃1 ∈ R: a·1 = a    el. neutro moltip.
• ∀a ∈ R \{0\} ∃b ∈ R: a·b = 1    b = 1/a.
• Distributiva - a·(b+c) = a·b + a·c.

Proprietà di ordinamento

(S₄) Z - Q ...(P₄) Q, ...proprietà di ordinamento.

Dati x, y ∈ R vale sempre che x ≤ y o y ≤ x.

Le proprietà dell'ordinamento sono:

• Riflessiva: x ≤ x (S1).
• Antisimmetrica: x ≤ y ∨ y ≤ x allora x = y (S2).
• Transitiva: x ≤ y ∨ y ≤ z ⇒ x ≤ z (S3).

R e Q sono insiemi ordinati.

(OA1) x ≤ y ⇒ xz ≤ yz ∀z ≥ 0.

(OA2) x ≤ y ⇒ -x ≥ -y, z ≥ z.

Esempio

3x + 1 ≥ 5 (OA1).

3(x + 1) - 1 ≥ 3∙5 - 1 (S2).

(S4) 3x + (-1) ≥ 14.

3x + 0 ≥ 4 (S3).

3x ≥ 4 (OA2).

x ≥ 4/3.

Assioma di continuità

Assioma di continuità (R ≠ Q).

A = R, ∨ B ⊆ R non ∅ a ≤ b ∀a ∈ A ∀b ∈ B (A sta a sx rispetto a B).

A - |-----|a c b.

∃c ∈ R |a ∈ c ∀a ∈ A ∨ c ≤ b ∀b ∈ B.

A = (0, 1) _essouso_ B = (-1, 2) c = 1.

A = (0, 1) B = (1, 2) cf = 1.

Nota in R non in Q.

Esempio A = { x ∈ Q: x > 0, x² < 2 }.

B = { x ∈ Q ... x > 0 x² > 2 }.

A sta a sx di R se q fosse c in Q che sapposa A e B non esiste c' ∈ Q c'² = 2 c' ≠ 1.

L'assioma di continuità è la proprietà che assicura che R si può mettere in corrisp. biunivoca con i punti di una retta.

Maggioranti e minoranti

A ⊆ ℝ A ≠ ∅.

DEF H ∈ ℝ maggiorante di A se a ≤ H ∀ a ∈ A.

m ∈ ℝ minorante di A se a ≥ m ∀ a ∈ A.

m e H devono esistere.

OSS: Se A ammette maggiorante H ⇒ H non è unico.

IDEA per i minoranti m.

Massimo e minimo

DEF Si dice che H ∈ ℝ è il massimo di A se valgono 2 proprietà:

• A ≤ M ∀ x ∈ A (H maggiorante).
• M ∈ A.

Analogamente per m.

OSS: MAX e MIN possono non esistere, ma se esistono sono unici.

DEF Si dice che A ⊆ ℝ è:

• Superiormente limitato se ∃ un Magg. di A.
• Inferiormente limitato se ∃ un m di A.
• Limitato se entrambe le cose.

Esempi

ℕ non è ↑ limitato e non ha MAX.

ℕ inferiormente limitato (es. -2...) e ha MIN = 0;

A = {2k | k ∈ ℤ} = {0, 2, 4, ... -2, -4, ...} NON è LIMITATO.

A = (0, 1) = {∀ x ∈ ℝ : 0 A e. non è LIMITATO.

0 e 1 _{non stanno nell'insieme} tutti c.o. e > 1.

A = {1/m | m ∈ ℕ*{0}} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}.

MAX é 1.

MIN non esiste perché lim_m→0+ 1/m = 0+ e m≈ 0.

Estremo superiore/inferiore

DEF A ⊆ R, A ≠ ∅.

Si dice che Sup A = +∞ se non è superiormente limitato.

Si dice che Inf A = -∞ se non è inferiormente limitato.

Si dice che Sup A = L ∈ R se A è limitato (esiste H) e L è il minore dei maggioranti.

Si dice che Inf A = L ∈ R se A è limitato (esiste m) e L è il maggiore dei minoranti.