Quaderno di Analisi II

Name: Quaderno di Analisi II
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Author: nicco2303

Revisionato il 24/07/2026

di nicco2303

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Appunti di analisi matematica basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Perfetti, dell’università degli Studi di Tor Vergata - Uniroma2, facoltà …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Perfetti Paolo

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2021-2022

90 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Funzioni di più variabili

Funzioni di più variabili f(x) x ∈ ℝ

f(x₁, ..., x_m) x_i ∈ ℝ

ℝ×ℝ×...ℝ =_m ℝ^m

ℝⁿ = { x : x ∈ ℝ }

λ x₁ + λ y ∈ ℝ^m

x, y ∈ ℝ^m

div( x, y ) = ρ ( x, y ) = √∑_{i = 1}ⁿ ( x_i - y_i )² = || x - y ||

Sfera aperta e insiemi

Sfera aperta di centro x_o:

( x_o₁ ) ...( x_o_m ) ℬ_r ( x_o ) = { x ∈ ℝ^m : div( x, x_o ) n : || x - x_o || = r } = _r ( x_o )

ℬ_r ( x₂ ) ∪ _r ( x₂ ) = { x_o ∈ ℝ^m : || x - x_o || ≤ r }

A ⊂ ℝ^m A è aperto se tutti i suoi punti sono interni

x_o ∈ A x_o è interno ad A se ∃r > 0 t.c. ℬ_r ( x₂ ) ⊂ A

Un insieme è chiuso quando il suo complementare è aperto

A ⊂ ℝ^m

La frontiera di A si indica con ∂A

x_o ∈ ∂A se ∀r ℬ_r ( x_o ) contiene sia punti di A che di A^c

∂A = ∂A^c

∀r > 0 ℬ_r ( x_o ) ∩ A ≠ ∅ ∧ ℬ_r ( x_o ) ∩ A^c ≠ ∅

Richiami su funzioni di più variabili

Funzioni di più variabili f(x) x ∈ ℝ

f(x₁... xₘ), xᵢ ∈ ℝ

ℝ × ℝ x... R^m

ℝⁿ = {f(x): x ∈ ℝ}

λ x + μ y ∈ ℝ^m

x, y ∈ ℝ^m

div (x, y) = ρ (x, y) = √∑_i=1ⁿ (xᵢ-yᵢ)² = ‖ x - y ‖

Sfera aperta di centro x₀:

( x₁ )... (x₀)_m B_r (x₀) = {x ∈ ℝⁿ: div (x, x₀) bordo = {x ∈ ℝⁿ: ‖ x - x₀ ‖ = r} = C_r (x₀)

B_r (x₂) ∪ C_r (x₂) = {x₀ ∈ ℝⁿ: ‖ x - x₀ ‖ (≤)r}

⊂ ℝⁿ

A ⊂ ℝⁿ

A è aperto se tutti i suoi punti sono interni

x₀ ∈ A x₀ è interno ad A se ∃ r ѕ.ɑ.t. B_r (x₂) ⊆ A

Un insieme è chiuso quando il suo complementare è aperto

A c ℝⁿ

La frontiera di A si indica con ∂A

x₀ ∈ ∂A se ∀ r B_r (x₂) contiene sia punti di A che di A^c

∂A = ∂A^c

∀ r > 0 B_r (x₀) ∩ A ≠ ∅ ∧ B_r (x₀) ∩ A^c ≠ ∅

Punti isolati e di accumulazione

A ⊂ ℝ^m, x₀ ∈ A si dice isolato se:

{x ∈ Bᵣ(x₀) \ {x₀} ∩ A = ∅

Quindi se tolto x₀ (che appartiene ad A) non ci sono altri punti nella sfera di centro x₀ appartenenti ad A

Un punto isolato è necessariamente di: frontiera

x₀ si dice di accumulazione se:

∀r Bᵣ(x) \ {x₀} ∩ A ≠ ∅ → x₀ ∈ A'

Quindi se qualunque sia la sfera intorno ad x₀, punti di A

I punti isolati non sono di accumulazione, ma di frontiera

I punti interni sono di accumulazione

Gli unici insiemi sia aperti che chiusi sono ∅, ℝ^m

Limiti

f : A ⊆ ℝ^m → ℝ

Limiti:

L_{funzione reale di più variabili reali}, x₀ punto di accumulazione di A (x₀ ∈ A')

lim_{x → x₀} f(x) = l. ∀ε>0 ∃δ>0 x.c. x ∈ B_δ(x₀) \ {x₀} ∩ A

lim_{x → x₀} f(x) = ±∞: ∀M>0 ∃r>0 x.c. x ∈ B_δ(x₀) \ {x₀} ∩ A

2 modi di arrivare ad un punto

lim_{x → x₀} f(x) = l

f(x, y₀+m(x-x₀))

lim_{x → x₀} f(x, y₀+m(x-x₀)) = l

Costruendo il punto x₀ a stare su una retta il limite vale sempre e perché se vale il caso generale deve valere anche una sua restrizione

Esempio di limite

lim_x→0 (xy / (x² + y²)) - x

Dom = ℝ² \ {0,0} 0 ∈ (Dom f)' → punto di accumulazione

f(x) → 0 ↔ 1

f(x1) → 0

Suppongo valga ∅

Utilizzo il teorema dei carabinieri

f(x) < h(x) < g(x)

lim_δ→0 |x,y| |x| / (x² + y²) = 0

x² + y² ≥ 0 ∀ x,y ∈ ℝ → x² + y² ≥ 2|x| |y|

= (|x| - |y|)² ≥ 0 da cui: |x| |y| ≤ x² + y² / 2

0 ≤ |x| |y| / (x² + y²) ≤ 1/2 (x² + y²) / (x² + y²) |x| = |x| / 2

Perché la funzione è sempre positiva

L_x→0 + y = 0

Quindi tutto il limite vale ∅

lim_x→0 xy / (x² + y²)

Notiamo che lim_x→0 f(x, mx) = lim_x→0 mx² / x²(1 + m²) = m / 1 + m²

Che dipende dalla restrizione (y = mx) imposta ma

0 ≤ |x| |y| / (x²

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