Punti stazionari per campi scalari

Punti stazionari per campi scalari

Teorema

Sia \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \), l'intervallo aperto, \( f \in C^2(I) \).

Prendiamo \( x_0 \in I / f'(x_0) = 0 \). Allora:

1. Se \( f''(x_0) > 0 \) allora \( x_0 \) è punto di minimo locale.
2. Se \( f''(x_0) \) Se \( f''(x_0) = 0 \) caso dubbio.

Nota differenziabilità di caduta del gradiente.

Definizione di punto stazionario

\( x_0 \in A \subset \mathbb{R}^n \) aperto, \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \), \( f \in C^1(A) \). Sia \( x \in A \), \( x \) è due punto stazionario se ∇\( f(x) = 0 \).

Oss: se \( m_1 = 1 \), ∇\( f(x) = f'(x) \).

Significato geometrico in n=2

\( f: A = \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) aperto, \( f \in C^1(A) \).

Ho \( (x, y) \in A / f(x, y) = h \) lo stazionario ⇒ ∇\( f(x, y) = (0, 0) \) \( f \in C^1(A) \), quindi f differenziabile in \( (x, y) \) e ammette piano.

\( T_z = \{ (x, y, z) | dz + (x - \overline{x}) + (y - \overline{y}) \} \). Z = f(x, y) poiché ∇\( f(\overline{x}, \overline{y}) = 0 \). L'equazione del piano tg diventa \( z = \overline{z} \), dunque \(\pi\) è un piano orizzontale.

Definizione di minimo e massimo locale

Sia \( f: A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), A sottoinsieme qualunque.

Sia \( x \in A \). Allora:

1. X è un due pt di minimo locale ⇔ \( \exists x_0 \) t.c. \(\{ f(x) \} > \{ f(x) \} \forall x \in B(x, x_0) \cap domf \).
2. X è un due pt di massimo locale ⇔ \( \exists x_0 \) t.c. \(\{ f(x) \} \).

Se la condizione 1 o 2 vale \( \forall x \cap domf \), allora x è due punto di minimo/massimo globale o assoluto.

Punto di sella

Definizione: Se \( f: A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), A aperto, \( f \in C^4(A) \). Se \( x \in A \) è P. stazionario (∇\( f(x) = 0 \) non è punto né di massimo né di minimo, allora x è detto punto di sella.

Punti stazionari per campi scalari

Teorema

Sia \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \), l'intervallo aperto, \( f \in C^2(I) \). Prendiamo \( x_0 \in I \, / \, f'(x_0) = 0 \).

Allora:

• Se \( f''(x_0) > 0 \) allora \( x_0 \) è punto di minimo locale.
• Se \( f''(x_0) \) Se \( f''(x_0) = 0 \) caso dubbio.

Definizione

\( x_a \in A \subseteq \mathbb{R}^n \) aperto, \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \), \( f \in C^1(A) \) sia \( x̄ \in A \). \( x̄ \) è due punto stazionario se \( \nabla f(x̄) = 0 \).

Oss: \( M = 1, \nabla f(x) = f'(x) - f'(x̄) \).

Significato geometrico in \( n = 2 \)

\( f: A = \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \), aperto, \( f \in C^1(A) \). Ho \( (\bar{x}, \bar{y}) \in A / f(x, y) \) ha lo stazionario \( \nabla f(\bar{x}, \bar{y}) = (0,0) \).

\( f \in C^1(A) \), quindi è differenziabile in \( (\bar{x}, \bar{y}) \) e ammette il piano \(\Pi: z = f(\bar{x}, \bar{y}) + \frac{\partial f}{\partial x} (\bar{x}, \bar{y}) (x - \bar{x}) + \frac{\partial f}{\partial y} (\bar{x}, \bar{y}) (y - \bar{y}) \).

\(\nabla f(\bar{x}, \bar{y}) = (0,0) \) quindi \(\Pi: z = f(\bar{x}, \bar{y}) \).

L'equazione del piano tangente \( \Pi \) è un piano orizzontale.

Definizione

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \, A \) sottoinsieme qualunque. Sia \( x̄ \in A \). Allora:

1. \( x̄ \) si dice punto di minimo locale se \( \exists x_0 \, \) tale che \(\{ f(x) \} \leq \{ f(x̄) \} \, \forall x \in B(x_0, x) \cap dom(f) \).
2. \( x̄ \) si dice punto di massimo locale se \( \exists x_0 \, \) tale che \(\{ f(x) \} \geq \{ f(x̄) \} \, \forall x \in B(x_0, x) \cap dom(f) \).

Se la condizione 1 o 2 vale \( \forall x \in dom(f) \), allora \( x̄ \) si dice punto di minimo/massimo globale o assoluto.

Punto di sella

Definizione Se \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \, A \) aperto, \( f \in C^4(A) \). Se \( x̄ \in A \) e \( x̄ \) è stazionario \((\nabla f(x̄) = 0) \) non è punto né di massimo né di minimo, allora \( x̄ \) si dice punto di sella.

Esempi

a) \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) paraboloide ellittico

\( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), \( f \in C^1(\mathbb{R}^2) \).

Cerchiamo i punti stazionari:

\( \nabla f(x,y) = (0,0) \rightarrow (2x, 2y) = (0,0) \).

\((x,y) = (0,0) \) p.to stazionario è punto di minimo globale.

\( f(x,y) = x^2 + y^2 \ge 0 \).

\( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \).

b) \( f(x,y) = -\frac{1}{1+x^2+y^2} \)

\( z = -\frac{1}{1+x^2+y^2} \).

Iperboloide a due falde (si considera solo quello inf. per il meno).

Cerchiamo i p.ti stazionari:

\( \left( \frac{x}{1+x^2+y^2}, \frac{y}{1+x^2+y^2} \right) = (0,0) \).