Psicometria: Anova a un fattore, a due fattori, entro i soggetti, limiti ed errori nelle procedure sperimentali

Potenza di un test statistico

Potenza di un test statistico: possibilità di rigettare correttamente H₀ quando questa è F. Il suo valore è 1-β ed è determinato da vari fattori:

• Valore di α: la potenza aumenta all'aumentare di α.
• Numerosità campionaria: più grande è e meglio è.
• Varianza del campione: più grande è la varianza, minore è la potenza.
• Effect Size.

NB. Aumentare α può aumentare la probabilità di commettere errori del I tipo.

Aumentare la numerosità aumenta la potenza di un test, ma può portare ad un aumento di errori del I tipo, inoltre diminuisce la varianza delle varianze campionarie.

La potenza di un test aumenta all'aumentare della distanza tra distribuzioni campionarie delle medie confrontate.

Misure per valutare la bontà di un modello

R-Squared

Coefficiente di determinazione r².

Porzione di devianza spiegata da relazione lineare.

Indice di ES.

r² = ^SSres/_{gradi di libertà}.

Alti valori -----> bassa predittività del modello.

ANOVA

Tecnica statistica per confronto tra medie.

Estensione del t-test: il t-test è un caso particolare di ANOVA.

ANOVA è un caso particolare di regressione ----> i predittori non sono V. numeriche, ma qualitative ----> oppure quantitative raggruppate in classi.

Potenza di un test statistico

Potenza di un test statistico: possibilità di rigettare correttamente H₀ quando questa è F. Il suo valore è ¹/_β ed è determinato da vari fattori:

• Valore di α: la potenza aumenta all'aumentare di α.
• Numerosità campionaria: più grande è e meglio è.
• Varianza del campione: più grande è la varianza, minore è la potenza.
• Effect Size.

NB. Aumentare α può aumentare la probabilità di commettere errori del I tipo.

Aumentare la numerosità aumenta la potenza di un test, ma può portare ad un aumento di errori del I tipo.

La potenza di un test aumenta all'aumentare della distanza tra distribuzioni campionarie delle medie confrontate.

Misure per valutare la bontà di un modello

R-Squared

Coefficiente di determinazione r².

Porzione di devianza spiegata da relazione lineare.

Indice di ES.

r² = ^SS_res/_{g^a di libertà}.

Alti valori --> bassa predittività del modello.

ANOVA

Tecnica statistica per confronto tra medie.

Estensione del t-test: il t-test è un caso particolare di ANOVA.

ANOVA è un caso particolare di regressione --> i predittori non sono V. numeriche, ma qualitative --> oppure quantitative raggruppate in classi.

Obiettivo

Confronto tra tre o più medie campionarie per valutare se provengono dalla stessa pop.

Valuta anche se vi sia una relazione tra VI e VD.

Vi sono molte tipologie di modelli ANOVA a seconda del n° di VI (fattori) e di VD.

ANOVA a un fattore

Una sola VI (fattore).

Una sola VD numerica.

Fattore diviso in K classi dette livelli o gruppi del fattore, ciascuno con una certa numerosità.

Se la numerosità dei gruppi è uguale per tutti il disegno è bilanciato.

Assunti

• Indipendenza dei punteggi VD.
• Distribuzione normale della pop.
• Omoschedasticità.

NB. Nei test per la verifica degli assunti, la non significatività indica la verifica dell’assunto.

Procedura

Ogni valore osservato del campione viene scomposto in y = µ + α + ε₁.

Con y_i,j = µ + α_j + ε_i,j.

µ media della pop. da cui è stato estratto il campione.

α effetto del gruppo del fattore di appartenenza (del gruppo j a cui il soggetto appartiene).

ε errore relativo alla specifica unità statistica (relativo alla singola persona i appartenente al livello j).

H₀: α_j=0, ȳ ∈ Hr.

H₁: α_j≠0, ȳ ∉ Hr ⇒ è almeno una media ̸= dalle altre.

Devianza

In generale SSA è scomposta in:

Devianza tra gruppi       SSA = ∑^k_j=1 n_j (ȳ_j - ȳ)².

Devianza entro i gruppi       SSS/A = ∑kj=1 ∑nji=1 (yi,j - ȳj)2.

SS_T = SSA + SS_S/A.

Gradi di libertà

Ciascun valore viene diviso per i rispettivi gradi di libertà:

M_ST = SS_T / (N-1) varianda tot.

M_SA = SS_A / (K-1) varianza tra gruppi.

M_SS/A = SS_S/A / (N-K) varianza entro i gruppi.

Vale: N-1 = (K-1) + (N-K).

Con K: n gruppi.

N: n osservazioni.

N.B. Forte effetto del fattore: aumento SSa (o MSa).

Basso o nullo effetto del fattore: variabilità è da assegnare tutta alla SS_s/a (o MS_s/a).

A parità di devianza o varianza tot:

• Aumento SSa o MSa diminuzione SS_s/a o MS_s/a.
• Aumento SS_s/a o MS_s/a diminuzione SSa o MSa.

Rapporto tra queste due quantità determina il peso del fattore e della variabilità individuale nella misura.

F di Snedecor o F di Fisher

Per valutare tale aspetto: rapporto tra le varianze tramite F di Snedecor o F di Fisher.

F = ^{SS_A / (K-1)} / _{SSS/A / (N-K)}.

F dipende da:

• K-1 (n° gruppi meno 1).
• N-K (n° osservazioni meno n° gruppi).

Si procede usando la verifica delle hp per valutare se esiste una differenza significativa tra le medie dei campioni raccolti.

F cal vs distribuzione di probabilità di Fisher.

Caso affermativo: Fcal> Fcr, VI ha un’influenza regolare e lineare su VD.

ANOVA a 2 fattori

2 VI (fattori).

Una VD numerica.

Fattori A e B hanno rispettivamente k_a e k_b livelli o gruppi.

N: numerosità complessiva del campione.

Se la numerosità di tutti i gruppi nell'interazione è uguale il disegno è bilanciato.

N° gruppi totali = k_a * k_b.

Ogni dato viene scomposto in 5 fattori: y = μ + α + β + αβ + ε.

Con μ media della pop.

α effetto del livello di appartenenza del fattore A.

β effetto del livello di appartenenza del fattore B.

αβ effetto di interazione livello fattore A con livello fattore B.

ε errore relativo all'unità specifica.

SS_T = SS_A + SS_B + SS_(AB) + SS_S/AB.

Con SS_A: devianza legata ai livelli del fattore A.

SS_B: devianza legata ai livelli del fattore B.

SS_(AB): devianza all'interazione livelli fattore A con livelli fattore B.

SS_S(AB): devianza di errore specifica interna ai gruppi.

(n - 1) = (k_a - 1) + (k_b - 1) + (k_a - 1)(k_b - 1) + (n - k_a * k_b).

Verifica dell'ipotesi

Nella verifica dell'ipotesi vi saranno 3 H₀ da verificare:

1. H₀: α = 0 effetto del fattore A è nullo.
2. H₀: β = 0 effetto del fattore B è nullo.
3. H₀: αβ̅ = 0 effetto di interazione è nullo.

ANOVA a due vie tiene conto dell'interazione tra fattori.

Effetti dei singoli fattori si chiamano effetti principali.

Effetti legati all'interazione si chiamano effetti d'interazione.

Modello saturo: prevede entrambi gli effetti VS insaturo (valuta solo effetti principali).

Modello ANOVA entro i soggetti

ANOVA a un fattore within

Una VI entro i casi (entro i soggetti).

Una VD numerica.

Il disegno è bilanciato.

Procedimento: trattare il ripetersi degli stessi soggetti al pari di una VI.

Una parte della variabilità dei dati è dovuta al fattore soggetti con n° livelli ed un suo effetto principale.

Ci sarà interazione tra fattore A e fattore soggetti.

Effetto trattamento

F = ^SSA/_{K – 1} = ^MSA/_MSSXA.

(nk – 1) = (k – 1) + (n – 1) + (k – 1)(n – 1).

F (k – 1, (k – 1)(n – 1)).

Limiti ed errori delle procedure sperimentali

1. Ipotesi sperimentali
   • Relazioni apparenti (non colto un mediatore) o spurie.
   • Direzionalità delle hp.
   • Errori epistemologici.
2. Selezione del campione
   • Campioni non casuali.
   • Campioni non bilanciati per le variabili rilevanti.
   • Campioni troppo piccoli.
3. Strumenti di misura
   • Bassa rilevanza e/o accuratezza dello strumento.
   • Strumenti non validati per pop di riferimento.
   • Errori sistematici.