Prove Autovalutazioni Fisica

Fisica a.a. 2019-2020 - Ingegneria Gestionale

1° prova del 2 marzo 2020

Lo studente descriva il procedimento e la soluzione degli esercizi proposti. Gli elaborati verranno ritirati e saranno valutati ai fini del superamento dell’esame finale.

Giovedì 5 marzo.

Esercizio 1

Un aereo atterra ad una velocità orizzontale di 300 km/h e, per fermarsi, è costretto a decelerare bruscamente con accelerazione uniforme di valore assoluto a =10 m/s². (a) Dall'istante in cui esso tocca il suolo, qual è l'intervallo di tempo necessario per fermarsi? (b) Qual è lo spazio di frenata? Quanto spazio ha percorso dopo aver ridotto a 100 km/h la sua velocità?

Esercizio 2

Ad un passaggio a livello non custodito il conducente di un tir, inizialmente fermo in attesa del passaggio del treno, decide di passare prima del treno prendendosi un grave rischio. Il conducente dopo aver visto il treno a 500 m dal punto di intersezione tra la linea ferrata e la strada, dopo 4 s lo vede a 350 m, e a quel punto, assumendo costante la velocità del treno, decide di partire di moto uniformemente accelerato con a=1m/s² per almeno 15 s. Sapendo che il tir è lungo L=20 m e che la testa del tir si trova a d=10m prima dell’intersezione, determinare se il tir viene incidentato o se invece riesce a passare nella sua interezza indicando in questo caso a che distanza passa il treno dalla coda del tir.

Esercizio 3

Un'auto ed un treno si muovono lungo percorsi paralleli alla medesima velocità v_o =120 km/h. Alla comparsa del segnale rosso di un semaforo, la macchina frena venendo così sottoposta ad una decelerazione uniforme di valore assoluto a_o =2.5 m/s² fino all'arresto. L'auto rimane ferma per 45 secondi, quindi accelera uniformemente con a_o =2.5 m/s² fino a riacquistare la velocità v_o =120 km/h. Assumendo che il treno abbia sempre mantenuto la velocità v_o =120 km/h si determini a che distanza l’auto raggiunge nuovamente la velocità di crociera v_o? Rimarranno definitivamente auto e treno dopo che di crociera v_o?

Esercizio 4

Dal soffione di un box doccia posizionato ad una altezza H=2.00 m dal suolo cadono delle gocce d’acqua a intervalli regolari. Assumendo che tutte le gocce seguano lo stesso tragitto in verticale dal soffione al suolo, e sapendo che la quinta goccia si sta stacca dal soffione esattamente quando la prima goccia tocca il suolo, determinare a quell’istante (1) la quota rispetto al suolo della seconda goccia e (2) la distanza fra la terza e la quarta goccia.

Esercizio 5

In un bar, un avventore lancia lungo il banco un boccale vuoto di birra perché venga riempito nuovamente. Il barista, momentaneamente distratto, non vede il boccale che cade al suolo ad una distanza di 1.4 m dalla base del banco. Se l’altezza distanza del banco è di 0.8 m, calcolare (a) la velocità del boccale al momento del distacco dal banco, (b) la direzione della velocità (rispetto all’orizzontale) del boccale nell’istante precedente all’impatto con il suolo. y

Esercizio 6

Due oggetti A e B sono collegati ad un'asta rigida che ha una B lunghezza L. Gli oggetti sono vincolati a muoversi lungo la guida perpendicolare come mostrato in figura. Se A viene spostato verso L, qual è la corrispondente sinistra con una velocità costante v velocità di AB quando =50°?  Ax

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Soluzioni 1° prova

Soluzione esercizio 1

Il moto rettilineo uniformemente ritardato con accelerazione costante negativa a(t)=-a di valore assoluto a_o =10m/s². Il velivolo tocca il suolo all’istante iniziale t=0, in un punto che facciamo coincidere x(t=0)=x_o=0 con l’origine del sistema di riferimento con una velocità iniziale positiva     v t 0 v 300 km h_o. Le equazioni della cinematica si ottengono integrando l’espressione dell’accelerazione come segue.

a_o Aereo fermo v1 v_o xs x=L x=0 Pista di atterraggio 1       2 a 10 m s a t a_oo        v 83. 3 m s v t v a t con i seguenti valori iniziali o o o    a x 0     2_o x t x v t t o o o 2 si trova annullando l’equazione della velocità.

Il tempo di arresto t* v(t*)=v_o - a_o t*=0 da cui si ricava =8.3 s. Dall’equazione dello spazio si ricava lo spazio di frenata come t * v a_o o         L’aereo riduce la sua velocità a 2 2 2 2 347 m.L x t * v t * a t * 2 v a v 2 a v 2 a_o o o o o o o o    t v v a v =100 km/h al tempo 5.56 s, avendo percorso lo spazio 1 1 o 1 o    2 2 2  v v v v v v     o 1 o 1 o 1 309 ms x t v1 1 o a 2 a 2 a_o o o.

Soluzione esercizio 2

La valutazione della velocità costante del treno si ottiene misurando lo spazio percorso diviso il tempo impiegato a percorrerlo: v  s 500 350 m m   37.5 t 4 s s.

Viene azionato il cronometro quando il treno si trova alla distanza b=350m dalla intersezione. Il treno muovendosi alla velocità di v=37.5 m/s per raggiungere l’intersezione impiega un tempo b 350 m   t * 9.33s v 37.5 m s.

Circa il cinematismo del tir si decide di individuare come punto rappresentativo quello del paraurti posteriore. Se il paraurti posteriore, che dista inizialmente d+L=30m dall’intersezione, riesce a oltrepassare la linea ferrata entro il tempo t*=9.33 s, allora il tir non verrà danneggiato dal treno. Quando sopraggiunge il treno (t*=9.33s) lo spazio percorso dal paraurti posteriore è     1 1 m   2 2  che è fortunatamente superiore alla distanza richiesta s a t * 1 9.33s 43.56m  22 2 s d+L=30m, con un margine di 13.56 m che rappresenta la distanza minima cui transita il treno dalla coda del tir.

Soluzione esercizio 3

Il moto del treno è rettilineo uniforme mentre quello dell’autovettura è rettilineo vario. Se si indicano con t_o, t₁, t₂, t₃ gli istanti di tempo in cui l’auto rispettivamente comincia a decelerare (t_o), si ferma (t₁), comincia ad accelerare (t₂), riprende il moto rettilineo uniforme (t₃), si possono tracciare i grafici di accelerazione e velocità e scrivere le relazioni cinematiche a.

Dati   Treno   t t , v t vt v (t ) vo auto otreno o          v 33.3 m s t t t , v t v a t t  too 1 auto o o o v   a 2.5 m s   ot t t , v t 0 v1 2 auto     o      T t t 45s    2 1t t t , v t a t t 2 3 auto 0 2 t tt  o 3  t t , v t v3 auto o a Autoa_o.

Gli intervalli di tempo si ricavano come segue: l’intervallo di frenata: dall’annullamento della velocità t -t1 o t-a  o dell’auto in t si ha v(t )=v -a (t -t )=0 da cui t t v a1 1 o o* 1 o 1 o o o v l’intervallo in cui accelera t -t: dal raggiungimento della velocità di regime in t si ha v(t )=v =a (t -t )=0 da cui 3 3 o o* 3 2 t ttt to 2  1 3. Lo spazio percorso nell’intervallo da t a t, t t v a o 33 2 o o si ottiene dal grafico delle velocità misurando l’area tratteggiata. 2v   1 1      .

L’auto percorre uno spazio pari ai due triangoli 0s t t v t t v 444 m auto 1 o o 3 2 o2 2 a o. Nel frattempo il treno ha percorso lo spazio pari al rettangolo tratteggiato    v v        o 0 . La differenza degli spazi percorsi è quindi s t t v T v 2389m treno 3 0 o 0 a a0 0  x (t ) x t 1944m treno 3 auto 3.

Soluzione esercizio 4

Il moto della prima goccia è descritto dall’equazione 1  24. y H gt 1 22 H   da cui il tempo di volo della goccia 0.64 st * g t * H    L’intervallo con cui scendono le gocce è 0.16 st 4 8 gt.

La seconda goccia parte ritardata di ed il suo moto è descritto da    1    2y t H g t t2 2 al momento t* la sua altezza rispetto al suolo è 2    1 1 3 2 H 7         2 87.5 cmh y t * H g t * t H g H 2 2 2 2 4 g 16 .

La terza goccia parte ritardata di 2t ed il suo moto è descritto da y t H g t 2 t3 2 al momento t* la sua altezza rispetto al suolo è 2    1 1 1 2 H 3         2 150 cmh y t * H g t * 2 t H g H 3 3 2 2 2 g 4 .

La quarta goccia parte ritardata di 3t ed il suo moto è descritto da y t H g t 3 t4 2 al momento t* la sua altezza rispetto al suolo è 2    1 1 1 2 H 15         2h y t * H g t * 3 t H g H 187.5 cm 4 4 2 2 4 g 16  3  . La distanza fra la quarta e la terza goccia è 37.5 cmh h H4 3 16.

Soluzione esercizio 5

Il moto del boccale è di tipo parabolico. Fissando gli assi x ed y come in figura i due moti componenti sono rispettivamente rettilineo uniforme (x) ed uniformemente accelerato (y)   Il tempo di volo t* si ottiene dalla     x t v t 2 yy t h gt 2o y(t) imponendo y(t*)=0 da cui     v  v v ov t gted t * 2 h g , mentre la distanza dx o y    a 0 a g si ottiene dalla x(t) imponendo yx     dalla quale si x t * d v t *o h    vv d t * d g 2 h 3. 46 m s ricava la velocità.

Per determinare fo  la velocità finale dobbiamo calcolare le sue componenti al tempo t*    x v v d g 2 h dx oche sono (si noti come v <0 vista   y   v t * gt * 2 hgy    v 2 h      y , fin  l’orientazione dell’asse. L’angolo di caduta è arctan arctan 0.85rad 48 49'   v d x.

Soluzione esercizio 6

Il moto dei due oggetti A e B è vincolato dall’asta rigida che li collega. In particolare i due moti rettilinei avvengono sugli assi x ed y con equazioni orarie y B       v t x t v x t x v t x oo o   L da cui le velocità  2        1 dx t   2 2 v t y ty t L x t  y  dt2 2 2 L x t A           2 x t x t x t v t x      xv t v tsvolgendo la derivata si ottiene       y x2 y t tg t2 2L x t   v 0 0.84v che nel nostro caso, essendo v =-v , t=0, =50° , dà luogo a .x o y o.

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2° prova del 13 marzo 2020

Esercizio 1

La macchina A si muove con velocità costante v_A =100Km/h su di una traiettoria circolare di raggio R=15Km. La macchina B, vincolata a percorrere la stessa traiettoria nella stessa direzione, parte da ferma con l’intento di raggiungere la macchina A. Nella prima fase B procede mantenendo l’accelerazione tangenziale costante a_t =1m/s² per 1Km raggiungendo così una velocità di crociera accettabile. Nella seconda fase B procede a velocità costante. Dopo quanto tempo B raggiunge A. Determinare anche i valori delle due accelerazioni normali.

Esercizio 2

Un elicottero, volando a bassa quota (h=200m) alla velocità v₁ =200 km/h, lascia cadere sulla propria verticale una bomba in modo da  colpire un carro armato che viaggia alla velocità v₂ =50 km/h. A quale angolo rispetto alla verticale il pilota deve vedere l’obiettivo al momento di sganciare la bomba? Con quale velocità ed inclinazione la bomba arriva sul carro nel sistema di riferimento solidale al carro?

Esercizio 3

Un astronauta su un pianeta sconosciuto scopre che può saltare coprendo una distanza orizzontale massima di 30 m se la sua velocità iniziale è di 9m/s. Determinare il valore dell’accelerazione di gravità su tale pianeta.

Esercizio 4

Un proiettile viene lanciato con velocità iniziale v_o =200m/s e con un alzo di 10° rispetto all’orizzontale dalla sommità di un colle che domina una vallata pianeggiante. Si assuma h=200m l’altezza del colle rispetto alla vallata. Determinare la gittata del lancio (calcolata dalla base della collina). Determinare il raggio di curvatura della traiettoria dopo t=1s.

Esercizio 5

Un ascensore scende verso il piano terra con accelerazione diretta verso il basso di valore a=2m/s². Un osservatore posto all’interno dell’ascensore lancia una pallina di piombo alla velocità iniziale di v_o =4m/s. Ammettendo di poter considerare la pallina come un punto materiale, descrivere il suo moto nel sistema mobile solidale all’ascensore e nel sistema fisso. Calcolare il tempo impiegato dalla pallina per ritornare in mano all’osservatore. Ripetere l’esercizio facendo salire l’ascensore con la medesima accelerazione ma diretta verso l’alto.

Esercizio 6

Un treno si muove di moto rettilineo con accelerazione uniforme a=0.25 m/s² (rispetto alla terra). Un corpo, sul pavimento del treno, viene lanciato con velocità iniziale verticale v_o =5m/s (rispetto al treno). Calcolare a quale distanza dal punto di lancio ricadrà il corpo sul pavimento.

Esercizio 7

Una giostra partendo da ferma, comincia a girare con accelerazione angolare costante =0.08 rad/s². Si chiede: a) in quanto tempo la giostra raggiunga la velocità di rotazione di 1/10 di giro al secondo. b) in quell’istante, il valore dell’accelerazione posseduta da un osservatore fermo sulla giostra ad una distanza di 3 metri dall’asse di rotazione. c) in quell’istante il valore dell’accelerazione dell’osservatore qualora non fosse fermo ma si spostasse radialmente verso l’asse di rotazione con velocità relativa v_r =1m/s.

Esercizio 8

Dovendo attraversare un fiume largo L=50m e puntando ortogonalmente alla riva opposta, si ha che la velocità dell’acqua è       -3 -1 -1 v y ky L y data da con k=5 10 m s . Partendo da A e volendo raggiungere B spostato a valle di d=20m, si determini con quale velocità costante v_oy occorre muoversi per raggiungere B ed il tempo impiegato.

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Soluzioni 2° prova

Soluzione esercizio 1

La macchina A si muove di moto circolare uniforme alla velocità angolare costante        (rispetto all’asse -31.85 10 rad/s, da cui si ottiene per la legge oraria tv tR 2AA A A   -5 2x). La macchina B si muove inizialmente con accelerazione angolare 6.67·10 rad/s, a Rt        2t tvelocità angolare e legge oraria.

Il termine della prima fase della rincorsa t t 2B B avviene quando la macchina B ha percorso la distanza di 1Km che corrisponde all’angolo       2-26.67·10 rad. Imponendo si calcola il tempo al quale termina la prima fase t t 21 B 1 1            -3t t 2t 2 44.72 s, la velocità angolare raggiunta 2.98 10 rad/s, 1 B 1 1 11 1 la quale risulta maggiore della velocità angolare della macchina A.

Nella seconda fase, che ha inizio  al tempo t₁, la macchina B procede alla velocità angolare acquisita di moto circolare uniforme        t t t con legge oraria. Per determinare il tempo t al quale B raggiunge A basta finB 1 1 1              imporre e cioè da cui si ricava t t t 2t t 1 fin 1 1 1 A finB fin A fin          t 2 2 2 0.0667 1.571     1452 s.

A quell’istante le 1 1 1 1 1t    3  fin   2 2.98 1.85 101 A 1 A   