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Teoria dei residui e calcolo di integrali indefiniti T. Frizzi
Calcolo rapido di particolari integrali definiti attraverso la teoria dei residui
Si debba calcolare: +∞ 1
∫
=
I dx
+ +
2
ax bx c
− ∞
Per ipotesi i poli dell’integranda non siano reali (siano quindi complessi coniugati). Consideriamo
(nel piano complesso) una curva chiusa Y composta da una semicirconferenza con centro
nell’origine e raggio R e dal segmento di asse reale [-R;R]. R sia tale che il polo a parte
immaginaria positiva sia interno a Y.
Curva Y (in ross o) c on R norm aliz zato pari a 1
1.5
1
0.5
aginaria 0
m
im
arte
P -0.5
-1
-1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
P arte reale
L’integrale esteso a Y coincide quindi con il residuo (chiamiamolo K) dell’integranda nel polo
interno a Y.
Chiamiamo A l’integrale esteso alla semicirconferenza e B quello esteso al segmento [-R;R].
Quindi: π = +
2 iK A B
Consideriamo A. Sulla semicirconferenza il generico punto complesso si può scrivere:
ϑ
= i
Re
z [ ]
ϑ π
∈ 0
;
Quindi: ϑ ϑ
= i
dz i Re d www.matematicamente.it
ELPRIFAT
Permette di realizzare e visualizzare elenchi, quanti se ne vogliono, di numeri interi consecutivi a partire da un numero dato scomposti ciascuno in fattori primi, ovvero primo. Ogni elenco può iniziare da un qualsiasi numero >1 e può essere formato da un insieme anche di 1000 numeri. Si fa presente che per avere risultati esatti ogni numero dell’elenco non deve avere più di 15 cifre. Anche per un elenco ad esempio di 35 numeri consecutivi ciascuno di 15 cifre, il tempo di calcolo necessario pe
Permette di realizzare e visualizzare elenchi, quanti se ne vogliono, di numeri interi consecutivi a partire da un numero dato scomposti ciascuno in fattori primi, ovvero primo. Ogni elenco può iniziare da un qualsiasi numero >1 e può essere formato da un insieme anche di 1000 numeri. Si fa presente che per avere risultati esatti ogni numero dell’elenco non deve avere più di 15 cifre. Anche per un elenco ad esempio di 35 numeri consecutivi ciascuno di 15 cifre, il tempo di calcolo necessario per la loro scomposizione in fattori primi e la loro relativa visualizzazione risulta al più di qualche decina di secondi.
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