Calcolo rapido di particolari integrali definiti attraverso la teoria dei residui

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Teoria dei residui e calcolo di integrali indefiniti T. Frizzi

Calcolo rapido di particolari integrali definiti attraverso la teoria dei residui

Si debba calcolare: +∞ 1

∫

=

I dx

+ +

2

ax bx c

− ∞

Per ipotesi i poli dell’integranda non siano reali (siano quindi complessi coniugati). Consideriamo

(nel piano complesso) una curva chiusa Y composta da una semicirconferenza con centro

nell’origine e raggio R e dal segmento di asse reale [-R;R]. R sia tale che il polo a parte

immaginaria positiva sia interno a Y.

Curva Y (in ross o) c on R norm aliz zato pari a 1

1.5

1

0.5

aginaria 0

m

im

arte

P -0.5

-1

-1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

P arte reale

L’integrale esteso a Y coincide quindi con il residuo (chiamiamolo K) dell’integranda nel polo

interno a Y.

Chiamiamo A l’integrale esteso alla semicirconferenza e B quello esteso al segmento [-R;R].

Quindi: π = +

2 iK A B

Consideriamo A. Sulla semicirconferenza il generico punto complesso si può scrivere:

ϑ

= i

Re

z [ ]

ϑ π

∈ 0

;

Quindi: ϑ ϑ

= i

dz i Re d www.matematicamente.it