Prodotto logico e probabilità condizinata

Matematica e Statistica per Scienze Biologiche

Richiami teorici

Prodotto logico di eventi: probabilità condizionata

• Eventi dipendenti e indipendenti
• Probabilità condizionata
• Probabilità del prodotto logico

A.A. 2021-2022

Matematica e Statistica per Scienze Biologiche

Richiami teorici

Prodotto logico di eventi: probabilità condizionata

• Eventi dipendenti e indipendenti
• Probabilità condizionata
• Probabilità del prodotto logico

A.A. 2021-2022

Prodotto logico di eventi

Probabilità condizionata

Eventi dipendenti e indipendenti

Due eventi E₁ ed E₂ sono:

• Indipendenti se il verificarsi di uno non influenza il verificarsi dell’altro;
• Dipendenti se il verificarsi di uno influenza il verificarsi dell’altro.

Esempio

Consideriamo un sacchetto contenente due palline gialle e una rossa (figura a) e due estrazioni consecutive di una pallina.

La seconda pallina viene estratta dopo aver rimesso la prima nel sacchetto (figura b). In questo caso gli eventi:

E₁ = «la prima pallina estratta è gialla»,

E₂ = «la seconda pallina estratta è gialla» sono indipendenti.

Se invece la prima pallina estratta non viene rimessa nel sacchetto (figura c), gli eventi sono dipendenti. Infatti, il verificarsi o non verificarsi di E₁ cambia il numero di casi favorevoli al verificarsi di E₂.

Probabilità condizionata

Chiamiamo probabilità condizionata p(E₂ | E₁) di E₂ rispetto a E₁ la probabilità di E₂ se si suppone che si sia verificato E₁.

Consideriamo il sacchetto con le palline e gli eventi dell’esempio precedente. Se la prima pallina viene rimessa nel sacchetto, gli eventi sono indipendenti. Non ci sono cambiamenti per la probabilità di E₂ se si è verificato o non si è verificato E₁, quindi p(E₂|E₁) è uguale a p(E₂):

p(E₂|E₁) = p(E₂) = 2/3

Si ha in generale:

• Se E₁ ed E₂ sono eventi indipendenti, p(E₂ | E₁) = p(E₂);
• Se E₁ ed E₂ sono eventi dipendenti, p(E₂ | E₁) ≠ p(E₂).