Processi Aleatori

Processi stocastici

Caratterizzazione temporale

Supponiamo di avere una sorgente. Un segnale certo: se a priori in un processo reale avrà la trasformazione xx non avrebbe senso e non ne avrei bisogno.

Segnali aleatori

Aleatorietà riguarda il fenomeno rispetto a qualcosa. L'insieme dei segnali emessi dalla sorgente aleatoria e il processo aleatorio.

Relazioni

Processo aleatorio → X(t;ω) se fisso ω ho un segnale preciso → realizzazione del segnale. Arrivo ad un segnale certo se fisso un valore nel tempo → x(t;ω).

L'insieme dei valori temporali e l'insieme delle possibili determinazioni della V.A. → Variabile aleatoria è sul verticale sull'orizzontale realizzazione processo aleatorio X(t;ω).

Determinazione: t e ω fissi.

Definizione - Processo aleatorio

Dato uno spazio di probabilità (Ω, F, P) e un sottoinsieme T ⊆ ℝ, si definisce processo aleatorio e si indica con X(t;ω) una funzione reale X definita sullo spazio T × Ω. X: T × Ω → ℝ tale che per ogni t'∈T, X(t',ω) sia una variabile aleatoria.

Caso semplice - Caratterizzazione statistica di un processo aleatorio

τ = ] t₁ t₂ ... t_n]

Processi stocastici

Caratterizzazione temporale τ. Supponiamo di avere una sorgente segnale certo: se a priori in un processo reale non ho trasformazioni o non ho riduzione dell'incertezza → non avrebbe senso e non ne avrei bisogno.

Segnali aleatori

Aleatorietà riguarda il fenomeno rispetto a qualcosa. L'insieme dei segnali emessi dalla sorgente aleatoria e il processo aleatorio. Determinazione: realizzazioni aleatorietà.

Processo aleatorio

➔ X(t;ω) se fisso ω ho un segnale preciso -> realizzazione del segnale. ➔ Arrivo ad un segnale certo se fisso un valore nel tempo ➔ X(t;ω).

L'insieme dei valori temporali e l'insieme delle possibili determinazioni della V.A. Variabile aleatoria è sul verticale sull'orizzontale realizzazione processo aleatorio X(t;ω). Determinazione: t e ω fissi.

Definizione - Processo aleatorio

Dato uno spazio di probabilità (Ω, F, P), e un sottoinsieme T⊆ℝ, si definisce processo aleatorio e si indica con X(t;ω) una funzione reale X definita sullo spazio T×Ω. X: T×Ω → ℝ tale che per ogni t'_j∈T, X(t',ω) sia una variabile aleatoria.

Caso semplice – Caratterizzazione statistica di un processo aleatorio

τ=^j t, t₂, ... t_n

• x₁ D_x(x₁,t₁) P_x(x₁,t₁)
• x₂ D_x(x₂,t₂) P_x(x₂,t₂)
• x_N D_x(x_N,t_j) P_x(x_N,t_N)

Statistica di ordine 1 D_x,i(x_i,t_i) i=1, 2,..., N P_x,i(x_i,t_i)

Statistica di ordine 2 D_x,ij(x_xi,x_j,t_i,t_j) P_x,ij(x_i,x_j,t_i,t_j) ∀ i,j i≠j

Statistica di ordine N

D_x1,x2,...xN(x_1,x2,...x_n ,t_1t2...t_n) P_x1,x2,...xN(x_1,x2,...x_n ,t_1t2...t_d) Si definisce gerarchia di ordine N l'insieme di tutte le statistiche fino all'ordine N.

Medie temporali

Hp: x(t) segnale di potenza. x(t) f[x(t)]

Media temporale del 1^o ordine ∫^Tf[x(t)] = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 f[x(t)] dt x ∫^Tf[x(t)]= x(t) = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t) dt

∫^Tf[x(t)] = x²(t) ⇒ = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 x²(t) dt = ρ_x

Media temporale 2^o ordine

∫^Tf[x(t),x(t+τ)] = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 f[x(t),x(t+τ)] dt

∫^Tf[x(t),x(t+τ)] = x(t)x(t+τ)

∫^Tf[x(t),x(t+τ)] = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t)x(t+τ) dt = ρ_xx(τ)

Media temporale di ordine N

Ē = lim(Δt -> ∞) (1/Δt) ∫ X(t)X(t+τ₁), X(t+τ₂), ..., X(t+τ+N)] dt

Medie d'insieme

l²(X) = Eₓ - {l(X(t₁,ω))}_t₁ = Eₓ₁,ₓ₂{l(X(t₁), X(t₂))}

Valore quadratico medio