Problemi di geometria con le equazioni di secondo grado
Il testo del problema...
Un foglio quadrato Q viene ritagliato secondo le linee tratteggiate in figura. Determinare l’area del quadrato sapendo che la parte che rimane è pari ai 5/8 dell’area iniziale.
4 cm
1 cm
1 cm
Q = A1 + A2
A2 = 5/8 Q
A1 = 3/8 Q
l = 4 + x
A2 = (l - 2) · x
A1 = [(4 + x) - 2] · x
A1 = (2 + x) · x
Q = l2 = (4 + x)2
A2 = 5/8 Q = 5/8 (4 + x)2
Equazione da risolvere
Q = A1 + A2
(4 + x)2 = (2 + x) · x + 5/8 (4 + x)2
16 + 8x + x2 = 2x + x2 + 5/8 (16 + 8x + x2)
16 + 8x = 2x + 10 + 5x + 5/8 x2
5x2 - 8x - 48 = 0
5x2 - 8x - 48
= (-8)2 - 4(5)(-48)
= 1024
x1,2 = (8 ± [1024]) / 10
x1 = (8 + 32) / 10 = 40 / 10 = 4
x2 = (8 - 32) / 10 = -24 / 10 < 0
Attenzione! La soluzione negativa non è accettabile poiché una misura non può essere tale.
x = 4 (le sono cm)
l = 4 + x = 8 cm
A = (8)2 = 64 cm2
Problema con equazione di secondo grado sul quadrato
Usare l'equazione di secondo grado per risolvere il seguente problema di geometria piana. Ecco il testo:
Un foglio quadrato Q viene ritagliato secondo le linee tratteggiate in figura. Determinare l’area del quadrato sapendo che la parte che rimane è pari ai 5/8 dell’area iniziale.
Scelta dell’incognita
Come prima cosa dobbiamo scegliere la nostra incognita.
Sappiamo che l'area del quadrato è Q. Quindi, se indichiamo con
Indichiamo poi con
L'area del quadrato è somma di queste due parti:
Il taglio sul lato inferiore lascia un centimetro per parte, quindi il lato inferiore del ritaglio è:
Se indichiamo con x l'altro lato del ritaglio, allora l'area
Quanto vale l'area restante?
Impostazione dell’equazione
Riscriviamo l'area Q in funzione di x, essendo
Ed ora anche
E anche
Ora la nostra equazione è pronta:
Sviluppando i due quadrati, moltiplicando i due membri per 8 e portando in forma canonica abbiamo:
Che risolta fornisce come risultato:
Da cui:
Ed infine:
In allegato lo svolgimento completo dei passaggi algebrici.
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